2.5 圆的方程 导学案（2课时）（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

2.5.1　圆的标准方程 【学习目标】 1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程.(逻辑推理) 2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.(数学运算) 3.结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法.(直观想象) 【自主预习】 1.圆的定义是什么 2.确定圆的基本要素是什么 3.已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗 4.点与圆的位置关系有几种 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　) (2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0)，则此圆的半径一定是a. (　　) (3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1，2)，半径是4. (　　) (4)若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点. (　　) 2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(　　). A.(-2，3)，1B.(2，-3)，3 C.(-2，3)， D.(2，-3)， 3.与圆(x-2)2+(y+3)2=16有相同的圆心，且过点P(-1，1)的圆的方程是　　　　. 4.已知点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，求圆的方程. 【合作探究】 探究1　圆的标准方程 “南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑之一.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米. 问题1：在摩天轮转动过程中游客离摩天轮中心的距离一样吗 问题2：若以摩天轮的中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，则游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系 问题3：以(1，2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系 问题4：确定圆的标准方程需具备哪些条件 圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合. (2)圆的基本要素是圆心和半径. (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. 特别提醒：(1)从圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径. (2)当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以原点O为圆心、r为半径的圆. 例1　(多选题)下列说法正确的是(　　). A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为 B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为b C.圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为 D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2，2)，半径为 【方法总结】通过圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)确定圆的圆心为(a，b)，半径为r. 圆C：(x-1)2+y2=1的圆心到直线x-y+a=0的距离为，则a的值为(　　). A.-1或-3 B.-1或3 C.1或-3 D.1或3 例2　求过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程. 【方法总结】求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解. 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4). 探究2　点与圆的位置关系 问题：点M(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么 在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件又是什么 1.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系判断： d>r 点在圆外；d=r 点在圆上；dr2 点在圆外； (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上； (x0-a)2+(y0-b)2