2.7 用坐标方法解决几何问题 导学案（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

2.7　用坐标方法解决几何问题 【学习目标】 1.理解并掌握用坐标法解决几何问题的基本过程.(逻辑推理、数学运算) 2.能根据曲线的几何特征求曲线的方程.(直观想象、数学运算) 3.初步掌握求曲线方程的方法，解决一些较为复杂的几何问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　). A.x2+y2=25 B.x2+y2=25(y≥0) C.(x+5)2+y2=25(y≤0) D.随建立的平面直角坐标系的变化而变化 2.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　). A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 3.已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，求点M的轨迹方程. 【合作探究】 探究1　用坐标法解决几何问题 如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作△ABC的外接圆的切线交线段AC的延长线于点D，则线段AD的长是多少 问题1：若用坐标法解决上面问题，应怎样建立平面直角坐标系 问题2：结合问题1所建立的平面直角坐标系求圆的方程和AD的长. 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆等，把平面几何问题转化为代数问题. 第二步，通过代数运算，解决代数问题. 第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 例1　如图所示，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足.利用坐标法证明：E是CD的中点. 【方法总结】坐标法解题的关键是建立平面直角坐标系，建立坐标系的原则：(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；(2)充分利用图形的对称性；(3)让尽可能多的点落在坐标轴上或关于坐标轴对称；(4)关键点的坐标易求得. 如图所示，在圆O上任取一点C为圆心，作圆C，与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于点H.利用坐标法证明：EF平分CD. 探究2　代数问题的几何解法 例2　(1)已知实数x，y满足方程(x-2)2+y2=3，则的最大值和最小值分别为　　　　. (2)函数y=-的值域为　　　　. 【方法总结】 1.与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如t=的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题； (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题. 2.将被开方式配方，可化为两点间的距离公式的形式，结合几何意义求值域. 已知实数x，y满足(x-2)2+y2=3，求y-x的最大值和最小值. 探究3　求轨迹方程 1.用坐标法解决轨迹问题的基本思想 笛卡儿创立解析几何后，人们借助坐标系把形与数联系起来，使几何问题可以通过建立坐标，用代数方法来解决.在将几何问题转化为代数问题并实施代数运算的过程中，我们可以利用几何定理得出坐标之间的关系，也可以将图形用向量语言来描述，用向量运算来解决，再转化为坐标之间的关系. 2.求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)设动点的坐标为(x，y)； (3)找出限制动点的几何条件； (4)将坐标代入几何关系； (5)化简式子. 3.求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明. (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，可将x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得到点P的轨迹方程. 特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点. 例3　若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|=2| ... ...