第1章 章末小结 导学案（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

第1章章末小结 【知识导图】 【题型突破】 已知Sn求an 例1　已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2，an=log5bn，其中bn>0，求数列{bn}的前n项和. 　注意由Sn求an时，分两步完成后要判断a1是否符合当n≥2时的式子，若符合，则可统一为一个式子；若不符合，则需要分段写出. 等差、等比数列的基本运算 例2　(2023年新高考全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99-T99=99，求d. 　在等差(比)数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及a1，an，n，d(q)，Sn这五个量，其中a1和d(q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入方法的运用. 裂项相消法求和 例3　(2022年新高考全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式. (2)证明：++…+<2. 　本题考查数列的递推关系式、数列的通项公式的求法、数列的求和以及裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力.先利用前n项和求出an与an-1之间的关系，再利用递推关系求出an的表达式是本题的解题关键. 等差数列、等比数列的证明 例4　(2021年全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2=3a1. 　本题主要考查等差数列的判定与证明、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式等知识，提升学生逻辑推理和数学运算的核心素养.证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N+)都成立. (3)通项公式：an=pn+q(p，q为常数) {an}是等差数列. (4)前n项和公式：Sn=An2+Bn(A，B为常数) {an}是等差数列. 问题的最终判定还是利用等差数列的定义. 错位相减法求和 例5　(2024年全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，且4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=(-1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 　如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解.本题考查了数学运算和逻辑推理的核心素养. 分组求和法 例6　(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn=记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4=32，T3=16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn. 　本题主要考查数列的递推式，数列的求和，提升学生数学运算和逻辑推理的核心素养. 1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn，且{an}，{bn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，则可采用分组求和法求{cn}的前n项和. 数列的单调性 例7　已知数列{an}中，an=1+(n∈N+，a∈R且a≠0). (1)若a=-7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N+，都有an≤a6成立，求实数a的取值范围. 　本题考查数列与函数思想的综合应用，通过构造函数来判断数列的单调性.本题考查了数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 数列的实际应用 例8　某公司2023年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2024年起，在之后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的生产与维护，2023年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2023年为第1年，f(n) ... ...