中小学教育资源及组卷应用平台 七上数学专题训练03 绝对值的几何意义与最值（8大题型） 题型一：两个绝对值的和的最值 题型二：两个绝对值的差的最值 题型三：多个绝对值的和的最值 题型四：绝对值中最值问题的应用 题型五：已知范围的绝对值化简 题型六：未知范围的绝对值化简 题型七：绝对值化简的新定义问题 题型八：绝对值化简问题综合 题型一：两个绝对值的和的最值 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 1． 已知点A，B在数轴上分别表示a，b． 任务要求 （1）对照数轴填写下表： a 8 3 b 4 0 4 A，B两点间的距离 4 8 12 4 问题探究 （2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b有何数量关系． 问题拓展 （3）当x等于多少时，的值最小，最小值是多少 （4）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是多少 2．阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是_____． （2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_____的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是_____． 任务三： 设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数； （3）若，求x所表示的有理数． 3．已知A、B在数轴上分别表示a、b． (1)利用数轴填写下表： a 6 2 b 4 0 A、B两点的距离 2 0 (2)若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b有何数量关系； (3)若点C表示的数为x，当点C在数轴上什么位置时，取得的值最小． 4．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题： (1)到广济街的距离等于两站的地方是_____． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足_____时，则的值最小，最小值是_____； ②当满足_____时，则的值最大，最大值是_____． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为_____． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 5．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的位置如图所示． (1)根据数轴填空： ①判断正负：a是 数，是 数（填“正”或“负”）； ②比较大小：a b， ； ③根据数轴化简：＝ ，＝ ． (2)数轴上，数a到原点的距离表示，即；类似的，数a到数2的距离可表示为 ； (3)应用：①如果要表示数a到3的距离是7，可记为：，那么a＝ ； ②当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． ... ...
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