【精品解析】1.3勾股定理的应用（三阶）-北师大版八年级上册数学课时进阶测试

1.3勾股定理的应用（三阶）-北师大版八年级上册数学课时进阶测试 一、选择题 1．（2024八下·香洲期中） 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（　　）． A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图所示： 过点C作CB⊥AD于点B. 由题意得：AD=AC，BC=DE=8m，BD=CE=2m. 设旗杆高度AD=AC=x m，AB=(x－2)m. 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2. 即(x－2)2+82=x2. 解得：x=17. 故答案为：A. 【分析】设AD=AC=x m，过点C作CB⊥AD于点B，构造直角三角形，利用勾股定理求出x的值即可. 2．（2018八上·张家港期中）如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么 的值为（　　） A．256 B．169 C．29 D．48 【答案】C 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】大正方形的面积为16，得到它的边长为4， 即得a2+b2=42=16， 由题意4× ab+3=16， 2ab=13， 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=16+13=29. 故答案为：C. 【分析】利用已知大小正方形的面积，可求出a2+b2=42，及4× ab+3=16，就可求出ab的值，然后求出答案。 3．（2024八下·武汉期中）如图1，位于重庆云阳龙缸景区的“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近700米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至80米．将其抽象成数学图形，即：如图2，OA=OB，BD⊥OA，BD=100米，AD=80米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索OA的长度为(　　) A． 80米 B．100米 C．102.5米 D．100.5米 【答案】C 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：∵BD⊥OA， ∴∠BDO=90°， 设OA=OB=x米， ∴OD=OA-AD=(x-80)米， 在中， ，即1002+(x-80)2=x2， 解得x=102.5， ∴绳索OA的长度为102.5米. 故答案为：C. 【分析】设OA=OB=x米，则OD=OA-AD=(x-80)米，在Rt△OBD中，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案. 4．（2020八上·龙岗月考）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的， ， ， .点D，E，F，G，H，I都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（　　）． A．288 B．400 C．432 D．440 【答案】D 【知识点】勾股定理的应用 【解析】【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q， 则△ABC≌△PFB≌△QCG， ∴PB=AC=8，CQ=AB=6， ∵图2是由图1放入矩形内得到， ∴IP=8+6+8=22， DQ=6+8+6=20， ∴矩形KLMJ的面积=22×20=440． 故答案为：D． 【分析】延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，可得ABC、PFB、QCG全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的长，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解。 5．（2025·白银模拟）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的应用；“赵爽弦图”模型 【解析】【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c， ∵图1中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为24， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴， ∴ab=10 ∵将这四个直角三角形拼成图2， ... ...