【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.2 3.2.2 第2课时 奇偶性的应用 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第3章　函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.2　函数的奇偶性 第2课时　奇偶性的应用 学习任务 核心素养 1．会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式．(重点) 2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(难点) 1．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养． 2．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养． 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用函数奇偶性求解析式 【例1】　【链接教材P84例5】 函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)＝－x＋1，求f (x)的解析式． [解]　设x<0，则－x>0， ∴f (－x)＝－(－x)＋1＝x＋1， 又∵函数f (x)是定义域为R的奇函数， ∴f (－x)＝－f (x)＝x＋1， ∴当x<0时，f (x)＝－x－1． 又x＝0时，f (0)＝0， ∴f (x)＝ 【教材原题·P84例5】 例5　设g(x)是定义于[－5，5]上的函数，且f (x)＝g(x)＋g(－x)，讨论f (x)的奇偶性；如果在[0，5]上f (x)＝1－2x，试求f (x)在[－5，0]上的表达式． [解]　因为g(x)的定义域为[－5，5]， 所以f (x)＝g(x)＋g(－x)的定义域也为[－5，5]． 又f (－x)＝g(－x)＋g(－(－x))＝g(－x)＋g(x)＝f (x)，所以f (x)为偶函数． 当x∈[－5，0]时，－x∈[0，5]， 由偶函数的性质得f (x)＝f (－x)＝1－2(－x)＝1＋2x． 反思领悟　利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间的函数解析式中． (3)利用f (x)的奇偶性将f (－x)用－f (x)或f (x) 表示，从而求出f (x)． 提醒：若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0． [跟进训练] 1．(1)函数f (x)是R上的偶函数，且当x<0时，f (x)＝x(x－1)，则当x>0时，f (x)＝_____． (2)设f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，则函数f (x)的解析式为f (x)＝_____． x(x＋1) (1)x(x＋1)　(2)　[(1)设x>0，则－x<0，所以f (－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f (x)为R上的偶函数，故当x>0时，f (x)＝f (－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f (x)＝x(x＋1)． (2)∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)． 由f (x)＋g(x)＝， ① 用－x代替x得f (－x)＋g(－x)＝， ∴f (x)－g(x)＝， ② (①＋②)÷2，得f (x)＝．] 类型2　利用函数的单调性与奇偶性比较大小 【例2】　设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)是单调递增的，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　) A．f (π)＞f (－3)＞f (－2) B．f (π)＞f (－2)＞f (－3) C．f (π)＜f (－3)＜f (－2) D．f (π)＜f (－2)＜f (－3) √ A　[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f (x)是单调递增的，则x∈(－∞，0)时，f (x)是单调递减的，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π， ∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故选A．] [母题探究] 1．若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？ [解]　1．因为f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f (2)>f (3)>f (π)． 又因为f (x)是R上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)>f (－3)>f (π)． 2．若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小． [解]　因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数， 因为－3<－2<π，所以f (－3)