【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.2 3.2.1 第1课时 函数的单调性 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

3.2　函数的基本性质 3.2.1　函数的单调性与最值 第1课时　函数的单调性 学习任务 核心素养 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点) 3．会求一些具体函数的单调区间．(重点) 1．借助单调性的证明，培养逻辑推理素养． 2．利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养． 德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律． 如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，则不难看出，图中y是x的函数，记这个函数为y＝f (x)． 这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？ 知识点1　增函数与减函数的定义 函数 增函数 减函数 图示 条件 设函数f (x)的定义域为D，区间I D：如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1f (x2) 结论 f (x)是区间I上的增函数，也称f (x)在区间I上单调递增 f (x)是区间I上的减函数，也称f (x)在区间I上单调递减 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈I”改为“存在x1，x2∈I”？举例说明． [提示]　不能．如对于函数y＝－x2，存在－4<2，且<－22，但y＝－x2不是增函数． 增、减函数定义中x1，x2的三个特征 (1)任意性，即“任意两个值x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1f (1)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 知识点2　函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f (x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f (x)的单调区间． 对函数单调性的理解 (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间I 定义域D． (3)遵循最优原则，单调区间应尽可能大． 2．函数y＝f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　　) A．[－4，4] B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] D．[－3，4] C　[由图可知，函数y＝f (x)的单调递增区间为[－3，1]，选C．] 3．函数y＝的单调递减区间是_____． (－∞，0)和(0，＋∞)　[结合y＝的图象可知，y＝的递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．] 类型1　函数单调性的判定与证明 【例1】　证明函数f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． [证明]　设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x10，即f (x1)>f (x2)， ∴f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． 　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1