【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.3 第2课时 诱导公式五和公式六 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

第2课时　诱导公式五和公式六 学习任务 核心素养 1．了解公式五和公式六的推导方法． 2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点) 3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点) 1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养． 2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养． 观察单位圆，回答下列问题： (1)角α与角－α，角α与角＋α的终边有什么关系？ (2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？ 知识点1　诱导公式五 终边关系 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称 角＋α与角α的终边垂直 图形 公式 sin ＝cos α， cos ＝sin α sin ＝cos α， cos ＝－sin α 诱导公式五反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)诱导公式五中的角α只能是锐角． (　　) (2)sin (90°＋α)＝－cos α． (　　) (3)cos ＝－sin α． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．(1)已知sin α＝，则cos ＝_____； (2)若α∈，sin ＝，则cos α＝_____． (1)　(2)　[(1)∵sin α＝， ∴cos ＝sin α＝． (2)∵α∈，sin ＝cos α＝， ∴cos α＝．] 知识点2　诱导公式六 tan ＝＝＝； tan ＝＝＝． 关于角α与2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α，±α的三角函数的关系式，都称为诱导公式． 3．tan 120°＝_____． －　[tan 120°＝tan (90°＋30°)＝－＝－．] 类型1　利用诱导公式化简求值 【例1】　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A． C．－ D．－ (2)已知cos (60°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos (30°－α)的值为(　　) A．－ C．－ (3)已知cos ＝，且α∈，则＝_____． 从角入手，你能发现待求角与已知角之间的内在联系吗？如何借助这种关系选择诱导公式进行化简求值？ (1)B　(2)A　(3)2　[(1)sin 239°tan 149°＝sin (180°＋59°)·tan (180°－31°)＝－sin 59°·(－tan 31°)＝－sin (90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝＝． (2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°． 又cos(60°＋α)＝>0， 所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°， 所以120°<30°－α<180°，cos (30°－α)<0， 所以cos (30°－α)＝sin (60°＋α)＝－＝－＝－． (3)∵cos＝， ∴sin α＝－， 又α∈， ∴cos α＝－， ∴tan α＝， ∴tan ＝＝2．] 　利用互余(互补)关系求值的步骤 (1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．常见的互补关系有：＋α与－α；＋α与－α等． (2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式． (3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果． [跟进训练] 1．(1)已知sin ＝，则cos 的值为_____； (2)已知sin ＝，则cos 的值为_____； (3)已知sin (π＋α)＝－，则tan ＝_____． (1)　(2)－　(3)或－　[(1)cos ＝cos ＝sin ＝． (2)cos ＝cos ＝－sin ＝－． (3)∵sin (π＋α)＝－，∴sin α＝， ∴α为第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cos α>0， ∴cos α＝＝＝， ∴tanα＝， ∴tan ＝－＝－； 当α为第二象限角时，cos α<0， ∴cos α＝－＝－＝－， ∴tanα＝－， ∴tan ＝－＝． 综上可知，当α为第一象限角时，tan ＝－， 当α为第二象限角时，tan ＝．] 类型2　利用诱导公式证明恒等式 【例2】　(1)求证：＝． (2)求证：＝－tan θ． [证明]　(1)右边＝＝＝ ＝＝，所以原等式成立． (2)左边＝＝＝－tan θ＝右边，所以原等 ... ...