【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.5 三角函数模型的简单应用 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

5.5　三角函数模型的简单应用 学习任务 核心素养 1．了解三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1．通过建立三角函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 2．借助实际问题求解，提升数学运算素养． 类型1　匀速圆周运动的数学模型 【例1】　如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度2 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系． [跟进训练] 1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　) A．y＝sin 　　　 B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 类型2　三角函数模型的实际应用 【例2】　【链接教材P199例1】 某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24小时)之内呈周期性变化，且符合函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋k，其中f (t)为水深(单位：米)，t为时间(单位：时)，t∈[0，24)．研究小组绘制了水深图，部分信息如图． (1)求f (t)的解析式； (2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时为2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底距离)，问： ①该船满载时一天之内何时能进出港口？ ②该船凌晨3时已经在港口卸货完毕准备空载离港；为确保安全，需在安全水深到达前一小时提前离港，最迟在几时之前离港才能确保安全？ [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解三角函数应用问题的基本步骤 提醒：关注实际意义求准定义域． [跟进训练] 2．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃． (1)求出该地区该时期的温度函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0，24))的表达式； (2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ... ...