2.8直角三角形全等的判定 【知识点1】角平分线的性质 1 【知识点2】直角三角形全等的判定 1 【题型1】用HL证明边或角相等 2 【题型2】用HL判定直角三角形全等 5 【题型3】角平分线性质的逆定理 7 【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE 【知识点2】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【题型1】用HL证明边或角相等 【典型例题】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AF＝BE，且AC＝BD，则下列结论不一定正确的是（ ） A.AC∥BD B.∠C+∠B＝90° C.∠A＝∠D D.Rt△ACE≌Rt△BDF 【答案】C 【解析】∵CE⊥AB，DF⊥AB， ∴∠AEC＝∠DFB＝90°， ∵AF＝BE， ∴AE＝BF， 在Rt△ACE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A＝∠B， ∴AC∥BD， ∵∠A+∠C＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴选项A，B，D正确，选项C错误． 故选：C． 【举一反三1】如图，四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（ ） A.145° B.130° C.110° D.70° 【答案】C 【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴在Rt△ABC与Rt△ADC中，CB＝CD，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC，又∠ACB＝55°， ∴∠ACD＝∠ACB＝55°， ∠BCD＝110°． 故选：C． 【举一反三2】如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ） A.28° B.59° C.60° D.62° 【答案】B 【解析】在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE， ∴△CAE≌△DAE（HL）， ∴∠CAE＝∠DAE∠CAB， ∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°， ∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°， ∴∠AEC＝90°∠CAB＝90°﹣31°＝59°． 故选：B． 【举一反三3】如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝ ． 【答案】40° 【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中， ∵∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） ∴∠D＝∠A＝50°， ∴∠DFE＝90°﹣∠D＝90°﹣50°＝40°． 故答案为：40°． 【举一反三4】如图，点P在∠AOB的内部，若PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点E，F，且PE＝PF，利用“HL”证得Rt△OEP≌ ，可得∠AOP＝ ． 【答案】Rt△OFP；∠BOP． 【解析】∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠PEO＝∠PFO＝90°， 在Rt△OEP和Rt△OFP中， ， ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）， ∴∠AOP＝∠BOP， 故答案为：Rt△OFP；∠BOP． 【举一反三5】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．试说明BE＝CF． 【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°． ∵AD＝AD， ∴△AED≌△AFD． ∴AE＝AF，DE＝DF． ∵BD＝CD， ∴△BED≌△CFD（HL）． ∴BE＝CF． 解法二：利用角平分线的性质定理，可以直接证明DE＝DF，不需要全等三角形的性质证明． 【题型2】用HL判定直角三角形全等 【典型例题】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ） A.AC＝A′C′，BC＝B′C′ B.∠A＝∠A′，AB＝A ... ...
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