7.4　三角函数应用 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

7．4　三角函数应用 7.4.1　三角函数应用(1) 1. 能应用三角函数解决一些简单的实际问题． 2. 体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型． 活动一 了解简谐运动 现实生活中存在大量的周期现象，如简谐运动、气温变化规律、月圆与月缺、涨潮与退潮等，可以利用三角函数建立一些周期性运动的数学模型． 思考1 怎样用三角函数刻画一些周期性运动呢？我们知道，匀速圆周运动的圆周上点P的纵坐标 y＝A sin (ωt＋φ)(其中，A表示圆的半径，ω表示圆周转动的角速度，φ表示点P的初始位置所对应的角).当物体做简谐运动(单摆、弹簧振子等)时，也是一种周期运动．那么如何用三角函数刻画呢？ 思考2 在y＝A sin (ωx＋φ)中，各参数的物理意义是什么？ 例1　如图，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若振幅为3 cm，周期为3 s，且从物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时． (1) 求物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的函数关系； (2) 求该物体在t＝5 s时的位置． 已知弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞)(取向上的方向为正方向). (1) 作出这个函数在一个周期内的简图； (2) 小球在开始振动(t＝0)时，离开平衡位置的位移是多少？ (3) 小球往返振动一次需经过多长时间？ 活动二　了解三角函数在水轮、摩天轮模型中的应用　 例2　一个半径为4 m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间． (1) 将点P距离水面的高度y(单位：m.在水面下，则y为负数)表示为时间x(单位：s)的函数； (2) 点P第一次到达最高点大约需要多长时间？ 如图，一个摩天轮的半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，已知此摩天轮每20 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时． (1) 求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2) 在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不超过7 m 1. (2024连云港期末)人的心脏跳动时，血压在增加或减少．若某人的血压满足函数式p(t)＝110＋20sin (140πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为(　　) A. 50 B. 70 C. 90 D. 130 2. (2024源清中学期末)如图，P为射线y＝x与以坐标原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈，则该动点的横坐标f(t)关于运动时间t的函数解析式是(　　) A. f(t)＝sin B. f(t)＝sin C. f(t)＝cos D. f(t)＝cos 3. (多选)已知弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐振动，B，C相距20cm，若某时刻振子处在点B，经过0.5s振子首次到达点C，则下列说法中正确的是(　　) A. 振动的振幅为10cm B. 周期T＝1s C. 弹簧振子在5s内通过的位移为200cm D. 弹簧振子在5s内通过的路程为200cm 4. (2025烟台期末)如图是某摩天轮示意图，其半径为100m，最低点A与地面的距离为8m，每24分钟转动一圈．若该摩天轮上一吊箱B(视为质点)从点A出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为_____min. 5. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R m的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60 s，经过t s后，水斗旋转到点P，已知点A(2，－2)，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(t≥0，ω>0，|φ|<). (1) 求函数f(t)的解析式； (2) 当水车转动一圈时，求点P到水面的距离不低于4 m的持续时间． ... ...