8.1.1 函数的零点 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

8.1.1　函数的零点 1. 结合二次函数的零点，了解函数零点与方程解的关系． 2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 3. 能进行简单的函数与方程的转化，体会函数与方程在一定条件下的统一性． 活动一 函数零点的定义 下图是某地气象局测得当地一天的气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7 h到11 h之间有没有可能出现温度是0 ℃，你能帮助他做出正确的判断吗？ 思考1 前面我们学习过，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值为0的实数x称为二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，那么你能给函数y＝f(x)的零点下个定义吗？ 思考2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．那么，函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？ 思考3 你能说出函数①y＝lg x；②y＝lg (x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点吗？ 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标. 活动二　函数零点存在定理　 例1　判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点． 思考4 你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的一般方法吗？ 思考5 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？ 思考6 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？ 函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.也就是说上述定理不可逆. 活动三　判断零点是否存在　 例2　求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点． 例3　求证：函数f(x)＝2x＋2x－3有零点． 函数f(x)＝3x－x2在区间[－1，0]上是否存在零点？为什么？ 活动四　判断函数零点的个数 例4　求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数． 本题不用计算列表、画图象也可得到结论：(1) 寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，由f(2)＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(3)＝ln 3＋0>0，所以f(2)·f(3)<0.(2) 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论. 也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数． 根据表格中的数据，可以判断方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是 (　　) A. (－1，0) B. (0，1) C. (1，2) D. (2，3) x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12 x＋2 1 2 3 4 5 例5　求函数f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2的零点个数． 判断函数f(x)＝x－3＋ln x的零点个数． 判断函数零点个数的常用方法： (1) 解方程f(x)＝0，方程f(x)＝0解的个数就是函数f(x)零点的个数． (2) 直接作出函数f(x)的图象，图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数． (3) 化函数的零点个数问题为方程g(x)＝h(x)的解的个数问题，在同一坐标系下作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数． (4) 若证明一个函数的零点唯一，也可先由零点存在定理判断出函数有零点，再证明该函数在定义域上单调． 1. (2025石家庄二中期末)函数f(x)＝ln x－的零点所在大致区间是(　　) A. (1，2) B. (2，e) C. (e，3) D. (3，e2) 2. (2025广东18校期末)若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是1，则函数g(x)＝ax3＋bx的零点是(　　) A. 0，2 B. －1，3 C. －1，0，4 D. －1，0，1 3. (多选)(2025沧州期末)已知函数f(x)＝2cos ＋1，若对 ... ...