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课件网) 8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及 最小二乘估计 探究点一 求经验回归方程 探究点二 线性回归分析 【学习目标】 1.能根据给出的经验回归方程系数公式建立经验回归方程. 2.了解随机误差、残差、残差图的概念. 3.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果. 知识点一 一元线性回归模型 我们称为关于 的_____模型.其中， 称为_____或_____，称为_____或_____；和 为模型的未知参数，称为_____参数，称为_____参数;是 与 之间的_____. 一元线性回归 因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距 斜率 随机误差 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）随机误差是一个随机变量，产生的原因是多方面的.( ) √ （2）在一元线性回归模型中,是与真实值 的随机误差,它是 一个可观测的量.( ) × 知识点二 经验回归方程与最小二乘法 1.经验回归方程 定义：对于一组具有线性相关关系的成对样本数据 ， ， ， ，由最小二乘法得 ， . 将称为关于 的经验回归方程，也称经验回归函数或经 验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法 叫作_____，求得的，叫作， 的_____. 注意：在经验回归直线中，是斜率， 是截距.一般地， 当时，说明两个变量正相关，它的意义是当 每增大一个单位 时，平均增大个单位；当 时，说明两个变量负相关，它的意 义是当每增大一个单位时，平均减小 个单位. 最小二乘法 最小二乘估计 2.残差与残差分析 （1）残差：对于响应变量 ，通过观测得到的数据称为观测值，通过 经验回归方程得到的___称为预测值，_____减去_____称为残差. （2）残差分析:残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可 以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数 据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差 画出残差图 →在残差图中分析残差特性. 观测值 预测值 3.决定系数 （1）的计算公式： . （2）与模型拟合效果的关系： 越大，表示残差平方和_____， 即模型的拟合效果_____； 越小，表示残差平方和_____，即模 型的拟合效果_____. 越接近1，拟合效果越好. 越小 越好 越大 越差 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）通过经验回归方程求出的 是精确值.( ) × （2）用最小二乘法求出的 可能是正的，也可能是负的.( ) √ （3）经验回归直线一定经过点 .( ) √ （4）残差平方和越大，线性回归模型的拟合效果越好.( ) × 探究点一 求经验回归方程 例1 [2024·遵义高二期中] 某地2019年至2023年五年中新能源汽车保 有量如下表. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 1 2 3 4 5 18 20 23 25 29 （1）请用样本相关系数说明与 的线性相关程度； 附：样本相关系数 ， . 解：因为 ，， 所以 ， ， ， 所以样本相关系数 . 因为 的值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强， 所以与 的线性相关程度较强. （2）求关于的经验回归方程 ，并预测2025年该地新能 源汽车保有量. 附：在经验回归方程中， , . 解：因为， ， ， ， 所以， ，所以 经验回归方程为 . 当时， ， 所以预测2025年该地新能源汽车保有量为33.8万辆. 变式 某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗 的尾数，统计结果如下表： 2 4 6 8 10 72 140 212 284 340 （1）若与之间具有线性相关关系，求关于 的经验回归方程； 附：样本数据的经验回归直线 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为, . 参考数据：,, . 解：由题可得 ， 代入公式得 ， ， 则关于的经验回归方程为 . （2）根据（1）中所求的经验回归方程，估计第30天时育种池内鱼 苗的尾数（结果保留整数）. 解：当时， ， 估计第30天时育种池内有鱼 ... ...
