4.2 简单幂函数的图象和性质 【课前预习】 知识点 1.y=xα 2.(1)(1,1) (2)单调递增 单调递减 诊断分析 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x2不是幂函数. (2)根据幂函数的定义可知,y=x-1是幂函数. (3)只有当α>0时,幂函数y=xα的图象才同时过点(0,0)和点(1,1). (4)由幂函数的定义及图象知,对于幂函数y=xα(α为常数),当α>0时,该函数的图象与坐标轴相交于原点,当α≤0时,该函数的图象与坐标轴不相交. (5)如函数y=x-1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. 【课中探究】 探究点一 例1 (1)C (2)A [解析] (1)幂函数的一般表达式为y=xα(α为常数),逐一对比可知题中的幂函数有①y=x3,⑤y=x,共2个.故选C. (2)由幂函数的定义知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.故选A. 探究点二 例2 B [解析] 根据幂函数的图象可知,a<0,b>c>1,0
(. 变式 (1)A (2)C (3) [解析] (1)因为a=,b=,c=,且y=在[0,+∞)上单调递增,>>>0,所以>>,即b>a>c.故选A. (2)设幂函数f(x)=xα,将代入,得(-2)α=-,解得α=-1,则f(x)=x-1,它在[1,3]上单调递减,故f(x)在[1,3]上的最大值为f(1)=1.故选C. (3)因为f(x)=m为幂函数,所以m=1,则f(x)=,故f(x)的定义域为[0,+∞),且在定义域上为增函数.由f(3-a)>f(a),可得解得0≤a<,故a的取值范围为.4.2 简单幂函数的图象和性质 1.D [解析] 幂函数的一般表达式为y=xa,其中x是自变量,a是常数.对于A,y=x2-1是二次函数;对于B,y=0.3x是一次函数;对于C,y==,的系数不为1,故y=不是幂函数;对于D,y=x0.3满足幂函数的一般表达式,故y=x0.3是幂函数.故选D. 2.A [解析] 函数y=xa的定义域为R,则a=1,,3,又函数y=xa为奇函数,所以a=1,3.故选A. 3.A [解析] 设该幂函数为f(x)=xα,因为该幂函数的图象经过点P,所以4α=,即22α=2-1,解得α=-,则函数f(x)=,易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除C,D;因为α=-<0,所以f(x)=在(0,+∞)上为减函数,所以排除B.故选A. 4.A [解析] 由幂函数的定义,得3m2-m-1=1,解得m=-或m=1,又f(x)在定义域内不单调,所以m=-,故选A. 5.D [解析] 由三个幂函数在第一象限内的图象知,a1<0,01,所以a1,a2,a3的值分别可以是-1,0.5,3.故选D. 6.B [解析] 因为幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),所以解得所以幂函数f(x)的解析式为f(x)=x3.函数f(x)为R上的增函数,0.8<1<3,所以f(0.8)2.故选B. 8.AB [解析] 设幂函数的解析式为y=xα(α为常数).因为1α=1,所以幂函数的图象都经过点(1,1),故A正确;当x>0时,xα>0,幂函数的图象都不经过第四象限,故B正确;y=的定义域为[0,+∞),为非奇非偶函数,故C错误;y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,但在定义域上不是减函数,故D错误.故选AB. 9.BCD [解析] 因为f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R)是幂函数,所以m2-3=1,解得m=±2,则f(x)=xn(n∈R).对于选项A,m=±2,故选项A错误;对于选项B,当f(x)的图象经过点(-1,-1)时,有-1=(-1)n(n∈R),则f(-x)=(-x)n=(-1)n·xn=-xn=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故选项B正确;对于选项C,若幂函数f(x)的图象经过点,则=2n(n∈R),解得n=-2, ... ... 