第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组）（图片版，含答案）

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初中二年级组） （时间: 3 月 11 日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 3 1. 计算 9 6 2 = . 3+ 6 a4 +b4 + 2a2b2 -a3b-ab3 2. 如果 a b 2017 , 那么 +3ab = . a2 +b2 3. 在平面直角坐标系 xOy中, 一次函数 y kx b的图象过点 A(1, 1) , 与坐标轴 围成的三角形面积为 2, 这样的一次函数有 个. E G 4. 如右图, 两个边长为 6 的正方形 ABFE和EFCD拼成长 A D H 方形 ABCD. 点G 在线段 ED 上, 连接 BG 交 EF 于点 6 H . 如果五边形CDGHF 的面积为 33, 那么线段BG 的 B F C 长等于 . 3p 1 q 1 5. 已知 p, q, , 都是正整数, 那么 p2 +q2的最大值等于 . q p 6. 某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐. 每个人至少选择 一种, 可以多选. 某班 30 名学生的调查结果如下： (a) 没选苹果的学生中, 选香蕉的人数是选梨的人数的 2 倍； (b) 三种水果都选的学生有 7 人； (c) 在恰好选了两种水果的学生中, 选择香蕉和梨组合的人数比选其它组合的人 数之和多 3 人； 7. (d) 在只选一种水果的学生中, 恰好有一半选了苹果. E I 那么, 只选了一种水果的学生有 人. 如右图, G F D 在梯形 ABCD 中, AB ∥DC , AB 4 , DC 1 , 分别 C H 以 AD , BC 为边向外作正方形 ADEF 与正方形 A B BHGC , I 为线段 EG 的中点 , 那么△ DCI 的面积 等于 ． 第 1 页 共 2 页 8. 用[x]表示不大于数 x 的最大整数．已知正整数 n 的平方的十位数字是 7, 那 n 么, n 100 的所有可能值的和等于 ． 100 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 1 1 1 1 1 1 9. 已知 a2 b2 c2 1, a b c 3 , 求 a b c 的值． b c c a a b 10. 如右图, 等腰直角三角形 PQR的斜边QR的长为 2. 正方 D P C N 形 ABCD的边 AB 在QR 上, 边 DC 过点 P , 边 DA , CB分别 M Q A B R 交 PQ , PR于点M , N . 当 AB在QR 上水平滑动时, △QAM 与△ BRN 的周长和是否为定值？说明理由． 11. 求证：任意的 5 个整数中, 必定有两个整数的平方差是 7 的倍数． ab 12. 正整数 a , b , 满足 a b 100 , q （ q 是正整数）, 问 a b可以取的值 a b 有多少个？ 13. 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） F 14. 如右图, △ ABC , △ AEF 和△BDF 均为正三角形, 且 ABF AFB+ ECD 60o , 求 AFC 的度数． A E C B D 15. 直线 a平行于直线b , a上有 5 个点 A1, A2 ,L , A5 , b 上有 5 个点B1, B2 ,L , B5 , 连接线段 AiB j (i, j 1, 2, 3, 4, 5) . 所得到的图形中, 三角形最多有多少个？ 第 2 页 共 2 页 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案 （初中二年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 3 答案 2 6 2017 3 3 13. 29 16 200 4 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 【答案】a b c的值为 1，或 0 或 1. 10. 【答案】周长和是定值2+ 2 . 11. 【证明】略 12. 【答案】38 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 【答案】 30o 14. 【答案】1000. 第 1 页 共 1 页 ... ...