4.2 平面向量及运算的坐标表示 【学习目标】 1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算和数乘运算. 3.能用坐标表示平面向量共线的条件. ◆ 知识点一 平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使=xi+yj,因此,a=xi+yj,我们把 称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a= . 2.特殊向量的坐标:i= ,j= ,0= . 3.向量的坐标与点的坐标的关系 在平面直角坐标系中,点P的位置被它的位置向量所唯一确定,设点P的坐标为(x,y),容易看出=xi+yj=(x,y), 即点P的位置向量的坐标 也就是点P的坐标;反之,点P在平面直角坐标系中的坐标也是点P所决定的位置向量的坐标.每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)相等向量的坐标相同,且与向量的起点、终点无关. ( ) (2)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标. ( ) (3)在平面直角坐标系中,任意一个向量m的坐标都是唯一的. ( ) ◆ 知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表: 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 a+b= 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 a-b= 数乘 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa= 重要结论:一个向量的坐标等于其 的坐标减去 的坐标,即设A(xA,yA),B(xB,yB),则=(xB-xA,yB-yA). 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量=(1,2),=(3,4),则=(4,6). ( ) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. ( ) (3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则a-b=(3,3). ( ) (4)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),则3a=(-3,6),2a+3b=(7,-11).( ) ◆ 知识点三 平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则向量a,b(b≠0)共线的充要条件是 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=. ( ) (2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b. ( ) (3)向量(2,3)与向量(-4,-6)方向相反. ( ) ◆ 探究点一 平面向量的正交分解及坐标表示 例1 (1)如图,向量a,b,c在标准正交基{i,j}下的坐标分别是 , , . (2)如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四边形OABC为平行四边形. ①求向量a,b的坐标; ②求向量的坐标. 变式 在平面直角坐标系xOy中,|a|=2,|b|=|c|=3,向量a,b,c的方向如图所示,求a,b,c的坐标. [素养小结] 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个向量的坐标时,可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. (2)求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. ◆ 探究点二 平面向量的坐标运算 例2 已知a=(-1,2),b=(2,1),求下列向量的坐标. (1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b. 变式 (1)[2024·山东枣庄滕州一中高一月考] 在平行四边形ABCD中,若=(2,4),=(1,3),则= ( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) (2)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角 ... ...
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