第六章 5.2 平面与平面垂直（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

5.2　平面与平面垂直 【课前预习】 知识点一 1.半平面　2.两个半平面　棱　面　α-AB-β　α-l-β 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　 2.解:不是,二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,两个平面相交能形成四个二面角. 知识点二 1.垂直于　平面角　直角　2.直二面角 诊断分析 解:这两条垂线的夹角不一定为二面角的平面角,它与二面角的平面角的大小相等或互补. 知识点三 交线　垂直　a α　a⊥l　线面 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)满足条件的两条直线不一定垂直,如图①,平面α⊥平面β,a α,b β,但a,b不垂直. (2)如图②,平面β内存在无数条垂直于这两个平面交线的直线,这些直线都与直线b垂直. (3)因为直线b不一定在平面α内,所以直线b不一定垂直于平面β. 知识点四 垂线 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√ 2.解:根据平面与平面垂直的定义与判定定理,易知过平面α的一条垂线可作无数个平面与平面α垂直;过平面α的一条斜线可作一个平面与平面α垂直;过平面α的一条平行线可作一个平面与平面α垂直. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)如图,连接AC,与BD交于点O,连接A1O.∵BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,∴BD⊥平面AA1O,又A1O 平面AA1O,∴BD⊥A1O,∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则AA1=a,AO=a.在Rt△A1OA中, tan∠A1OA==,即二面角A1-BD-A的正切值为,故选C. (2)设过PE,PF的平面γ与二面角α-l-β的棱交于点O,连接OE,OF.当点P在二面角α-l-β内时,如图①,因为PE⊥α,PF⊥β,所以PE⊥l,PF⊥l,又PE∩PF=P,所以l⊥γ,所以l⊥OE,l⊥OF,则∠EOF为二面角α-l-β的平面角,且它与∠EPF互补.同理,当点P在二面角α-l-β外时,如图②,此时∠EOF为二面角α-l-β的平面角,且它与∠EPF相等.因为∠EPF=60°,所以二面角α-l-β的平面角的大小为60°或120°,故选C. 变式　解:(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,CB 平面ABCD,所以PD⊥CB.由已知得AB⊥AD,则BD=,又易知BC==,且CD=2, 所以BD2+BC2=CD2,即CB⊥BD. 又PD∩BD=D,PD 平面PBD,BD 平面PBD, 所以CB⊥平面PBD. (2)因为CB⊥平面PBD,PB 平面PBD,所以CB⊥PB, 又PD⊥平面ABCD,所以∠PBD为二面角P-BC-D的平面角. 因为PD⊥平面ABCD,所以∠PCD为PC与底面ABCD的夹角,由tan θ=tan∠PCD==,得PD=. 因为PD⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PD⊥BD,在Rt△PDB中,tan∠PBD===,则∠PBD=60°,所以二面角P-BC-D的大小为60°. 探究点二 例2　证明:取A1C的中点E,连接AE.因为AA1=AC,所以AE⊥A1C.又平面A1BC⊥平面A1ACC1,平面A1BC∩平面A1ACC1=A1C,AE 平面A1ACC1,所以AE⊥平面A1BC. 因为BC 平面A1BC,所以AE⊥BC. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以AA1⊥BC.因为AA1∩AE=A,AA1 平面A1ACC1,AE 平面A1ACC1,所以BC⊥平面A1ACC1. 变式　证明:∵四边形ABCD是矩形,AB=2BC,E为CD的中点,∴△ADE,△BCE都是等腰直角三角形, ∴∠AED=∠BEC=45°,∴∠AEB=90°,即AE⊥EB. ∵平面BEC'⊥平面ABED,平面BEC'∩平面ABED=BE,AE 平面ABED,∴AE⊥平面BEC',又BC' 平面BEC',∴AE⊥BC'. 探究点三 例3　证明:因为△ABC为等边三角形,O为△ABC外接圆圆心,所以O是△ABC的中心,且AO⊥BC. 易知PO⊥平面ABC,BC 平面ABC,所以PO⊥BC, 又PO∩AO=O,PO 平面POA,AO 平面POA, 所以BC⊥平面POA,又BC 平面PBC, 所以平面POA⊥平面PBC. 变式　证明:(1)如图所示,取EC的中点F,连接DF. ∵EC⊥平面ABC,BD∥CE, ∴DB⊥平面ABC. ∵AB 平面ABC,BC 平面ABC, ∴DB⊥AB,EC⊥BC. ∵BD∥CE,BD=CE=FC,∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC.又AB=BC=DF,BD=FE, ∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=AD. (2)如图所示,取AC的中点N,连接MN,NB, ∵M 是EA 的中点,∴MN∥EC,且MN=EC. 由BD∥EC,BD=EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形 ... ...