第3课时 排列、组合的综合应用 【课前预习】 知识点 诊断分析 解:分两类,每一类又分两步分别完成. 第一类:先从A类选修课3门中选1门,再从B类选修课4门中选2门,将它们合在一起,即为一种方案,它是一个组合问题. 第二类:先从A类选修课3门中选2门,再从B类选修课4门中选1门,将它们合在一起,即为一种方案,它是一个组合问题. 【课中探究】 例1 解:(1)抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法共有种抽法. (2)抽出的产品中至少有2件是次品的抽法共有(+)种抽法. (3)抽出的产品中至多有2件是次品的抽法共有(++)种抽法. 变式 (1)240 (2)C [解析] (1)将5名同学分为四组,每组的人数分别为2,1,1,1,有=10(种)分组方法,再分配学习四门课程,有=24(种)方法,所以共有10×24=240(种)不同的方法. (2)先将这4名志愿者分成3组,每组至少1名志愿者,共有种分法,再将这3组志愿者分配给3个项目,每个项目分配1组志愿者,共有种分配方法,故不同的分配方案有=36(种).故选C. 例2 解:(1)无序不均匀分组问题.首先选1本有种方法,然后从余下的5本中选2本有种方法,最后将余下3本全选有种方法,故共有=60(种)分配方法. (2)无序均匀分组问题.若不考虑重复的情况,应有种方法,但是这些方法中出现了三个“位置”上的重复,故共有=15(种)分配方法. (3)无序部分均匀分组问题.共有=15(种)分配方法. (4)有序部分均匀分组问题.在第(5)问的基础上再分配给三人,共有·=90(种)分配方法. (5)直接分配问题.甲选1本有种方法,乙从余下的5本中选1本有种方法,余下的4本留给丙有种方法,故共有=30(种)分配方法. 变式 70 [解析] 先从8人中任选4人去第一个小区,再让剩余的4人去第二个小区,根据分步乘法计数原理可得,不同的安排方法种数为=70. 例3 解:用0代表小球,用|代表隔板. (1)先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板即可,故共有=10(种)放法. (2)恰有1个空盒子,则插隔板时分两步进行.先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如|0|000|00|,有种插法,然后将剩下的一块隔板与前面任意一块隔板并放形成“空盒”,如|0|000||00|,有种插法.故共有=40(种)放法. (3)恰有2个空盒子,则插隔板时分两步进行.先把6个相同的小球排成一行,在首尾2个球的外侧各放置一块隔板,并在小球之间的5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,如|00|0000|,有种插法,然后将剩下的两块隔板插入前面三块隔板所在的空隙形成“空盒”,有以下两种情况: ①这两块隔板与前面三块隔板形成不相邻的2个“空盒”,如||00||0000|,有种插法; ②将两块隔板与前面三块隔板之一并放,如|00|||0000|,有种插法.故共有×(+)=30(种)放法. 变式 解:(1)10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙,在9个空隙中选2个位置插入隔板,可把名额分成3份,对应地分给3个班级,每一种插板方法对应一种分法,故共有=36(种)不同的分法. (2)要求每班至少2个名额,可以先从10个名额中拿出3个,分别给各班1个名额,还剩下7个名额,此时题目转化为7个名额分给3个班,每班至少1个名额,按照解第(1)小问的方法,可得共有=15(种)不同的分法. (3)2班、3班分别先给1个和2个名额,此时问题转化为7个名额分给3个班,每班至少1个名额,按照解第(1)小问的方法,可得共有=15(种)不同的分法.第3课时 排列、组合的综合应用 1.D [解析] 从2名教师和5名学生中,选出3人,有=35(种)选法,若入选的3人中没有教师,即全部为学生的选法有=10(种),则满足要求的有35-10=25(种)不同的选取方案,故选D. 2.D [解析] 由题意可知,不同的送法共有=10×6=60(种),故选D. 3.B [解析] 第一步,为甲选1本,有种选法;第二步,为乙选2本,有种选法;第三步,为丙选2 ... ...
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