2025年广东省中学生夏令营数学测试（1）一试试题＋加试试题（PDF版，无答案）

2025.8.25 2025年广东省中学生数学夏令营数学测试1 一试试题 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=BC=2√2， AB=AC,若边PA,BC,AC上的动点X,Y,Z满足AX=BY,YZ∥AC,则三棱锥 A-YZ体积的最大值为 1 2.定义数列化，ex:=2,方=10，x+:=5x+戈，（neN),则不超 过受1的最大整数为 R点Xk-1Xk+ 3集合-xcZx-atb2”+2=2,a,bce 则S3 4.已知等边三角形ABC的边长为1，X1,X2,,X44依次为BC边上由B至C的44 个45等分点，则AB·AX+AX·AX++X3·AX4+AX4AC= 5、已知点头，名.k,在箱圆号+号=1上按定时针方向依次排列.点F20,满 021 足∠YFY2=∠Y,FY=…=∠Y24FYo2s5=∠Yo2sFY,则∑ IFY 6.已知有理数u=0 xyzxVzXVZ..∈(0,1)，这里x,y,z∈{0,1,2，…，9}且可以相同，将u写 成最简分数的形式后，其分子有 种不同的取值. .222- 202 x1=0x2=0x3=0x2025=0k=1 4a+2b2+c3 8.已知正实数a,b,c满足a2+8b2+9c2≤4abc,则- 的最小 V6(36b-11V2c)-11a 值为 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 9.(本小题满分16分)已知实数a>1,点0(0,0)，过椭圆「：+ =1右焦点 a2-1 的直线交「于X,Y两点，若|OX|2+|OY|2<|XY12恒成立，求a的取值范围. 10.(本小题满分20分)给定整数n≥2025，已知数列化心满足x∈行且 5=sn经)（吸eN),试比较与的大个并证明 1-xn 11.（本小题满分20分)已知x1,x2,x3,x4,x5∈C满足|x1|=|x2|=1,|2x3-x1-x2|= 12x4-x-x2=|x1-x21,|2x5-x3-x4=|x3-x4. (1)求|x的最大值； (2)当|x|取最大值时，是否存在2025组不同的复数(x1,x2,x3,x4)使等号成立？ 2025年广东省中学生数学夏令营数学测试1 加试试题 一、（本题满分40分) 试求最大的实数2，满足对区间[0,1]中的任意2025个实数x1,x2,x225,只要 x1+x2+.+x2025=入，均可将这2025个实数划分成不相交的两组S,T,并使得每组之和 ∑4与∑均小于等于2， 二、（本题满分40分） 如图，O是△ABC的外心，D,E,F分别是内切圆与BC,CA,AB的切点.设M,N分 别是AB,AC的中点，M',W分别是M,N关于DE,DF的对称点.设直线CM,DE交于 点H,BW',DF交于点J.求证：H,J,O三点共线 N E 0 父 C D M 三、（本题满分50分） 对于正整数k,给定一个由2025个小正方形方格组成的1×2025条形棋盘及一个装有 k枚硬币的盒子，已知每个小正方形方格恰可放一枚硬币.现Aic与Bob两人轮流进行如 下操作：每次Alice先从盒子中和棋盘上取下不超过19个硬币放在棋盘上未被占据的空小正 方形方格内，然后Bob再从棋盘上取下任意多个连续占据小正方形方格的硬币放回盒内.若 某一时刻Alice可将全部的k枚硬币均连续地放在条形棋盘上，则判Alice获胜.试求最大 的k,使得Aice有必胜策略.