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课件网) 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性 第2课时 函数的平均变化率 探究点一 直线的斜率公式及应用 探究点二 求函数的平均变化率 探究点三 函数平均变化率的应用 探究点四 判断（证明）函数的单调性 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.了解直线的斜率及意义； 2.了解函数的平均变化率，理解函数单调性与平均变化率的关系； 3.会用函数单调性的充要条件证明简单函数的单调性. 知识点一 直线的斜率 1.定义：一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 , ，当时，称_____为直线的斜率；当 时， 称直线 的斜率_____. 不存在 2.几何意义：直线 的斜率反映了直线相对于_____的倾斜程度. 3.表示方法：若记，相应的，则当 时，斜率可记为_ __. 4.证明点共线：若平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任 意两点确定的直线的斜率都_____或_____. 轴 相等 都不存在 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）任意的直线都有斜率.( ) × [解析] 当直线与轴垂直时，，斜率 没有意义，所以此 项错误. （2）“点,,共线”是“直线的斜率等于直线 的斜率”的必要不 充分条件.( ) √ [解析] 当直线的斜率等于直线 的斜率时，两条直线重合，即 三点共线；反之，当,,三点所在的直线与 轴垂直时，直线斜率 不存在，故此项正确. （3）直线 的斜率为0.( ) [解析] 直线 上的任意两点的纵坐标相等，故由斜率公式可知斜 率为0. （4）若两条直线的斜率相等，则这两条直线的倾斜程度相同.( ) [解析] 根据斜率的概念知说法正确. √ √ 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 知识点二 函数的平均变化率、函数递增递减的充要条件 1.平均变化率 一般地，当时，称为函数 在区间 时或时 上的平均变化率. 2.判断函数单调性 一般地，若区间是函数的定义域的子集，对任意, 且，记, ， ，则： （1）在区间上是增函数的充要条件是在区间 上恒 成立； （2）在区间上是减函数的充要条件是在区间 上恒 成立. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数在上是减函数，当 每增大1个单位 时，增大 个单位.( ) √ [解析] 由线性函数定义可知 ，所以函数为减 函数，且当每增大1个单位时，增大 个单位. （2）函数 在定义域上的平均变化率都等于2.( ) √ [解析] 因为线性函数的平均变化率为 ，所以此项正确. （3）函数在区间 上的平均变化率为2.( ) √ [解析] 因为 ，所以此项正确. （4）当一个函数给定，定义域内的一个区间给定时，该函数在这个 区间上的平均变化率为常数.( ) √ [解析] 由平均变化率的定义可知此项正确. （5）函数在和 上的平均变化率互为相反数.( ) √ [解析] 函数在上的平均变化率为 ， 在上的平均变化率为 ，故此项正确. 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 探究点一 直线的斜率公式及应用 ［探索］ 能否说直线越陡峭，斜率越大？ 解：不能.当斜率大于0时，直线越陡峭斜率越大；当斜率小于0时， 直线越陡峭斜率越小. 例1（1）［2024·北京昌平区高一期中］已知 和 在区间上的平均变化率分别为和 ，则( ) A. B. C. D.和的大小随着， 的改变而改变 [解析] 依题意， ， ，所以 .故选B. √ （2）已知经过，两点的直线的斜率大于1，则实数 的取值范围是_____. [解析] 由题知,即,解得 ，所 以实数的取值范围是 . 变式（1）［2025·安徽亳州高一期末］已知二次函数 的最大值为 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为二次函数的最大值为 ， 所以的图象关于直线对称， 所以 ，且在上是减函数， 因为 ，所以 .故选A. √ （2）已知三点，， 在同一条直线上，则实数 的 ... ...
