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课件网) 3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用 探究点一 利用函数奇偶性求解析式 探究点二 奇偶性与单调性的简单应用 探究点三 函数图象的对称性的证明及应用 ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课堂评价 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.掌握用奇偶性求解析式的方法; 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用来比较大小、求最值、解不 等式. 知识点一 奇偶性与单调性的综合应用 1.对称区间内的单调性. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性_____，偶函数在关 于原点对称的两个区间上的单调性_____. 相同 相反 2.比较大小. 两个因变量比较大小：对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对 称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，那么①应利 用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后根据单调性 判断；②根据在两个对称区间内的单调性情况，比较两个自变量的 绝对值大小，即到 轴的距离大小，进而比较两个因变量的大小. 知识点二 证明函数图象的对称性 若函数满足，则函数 的图象关于直线 对称，且函数 为偶函数； 若函数满足，则函数 的图象关于点 对称，且函数 为奇函数. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若函数为奇函数，则 .( ) √ [解析] 若为奇函数，则，即 . （2）若函数 为奇函数，则满足 .( ) [解析] 由奇函数的定义知，若 为奇函数，则应当满足 ，即 . × （3）若函数 为偶函数，则满足 .( ) √ 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 探究点一 利用函数奇偶性求解析式 例1（1）已知函数是定义在上的偶函数,当 时, ,则函数在 上的解析式是( ) A. B. C. D. [解析] 是定义在上的偶函数,当时, , , 所以当 时，， 又当 时,,所以 √ （2）函数可表示为一个奇函数 与一个偶函数的和，则 _____. [解析] 因为，所以 ，即 ，则 . 变式 已知是偶函数,是奇函数,且 , 求, 的解析式. 解：因为是偶函数,是奇函数,所以 , .由 , 得 , 即 . 由①②得, . ［素养小结］ 利用奇偶性求函数解析式的注意事项: （1）求哪个区间的解析式就设
在哪个区间内; （2）将问题转化代入已知区间的解析式; （3）利用函数
的奇偶性写出
或
,从而求出
. 探究点二 奇偶性与单调性的简单应用 角度1 比较大小 例2 设偶函数的定义域为，当时， 是增函数， 则，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数为上的偶函数，所以 ， ．又当时，是增函数，且 ， 所以，即 ．故选A. √ 变式 已知定义在上的奇函数满足对任意的 ， ，都有，则，， 从小到大依次是_____. ,, [解析] 因为对任意的， ， 都有,所以函数在上单调递减， 因为函数 是奇函数，所以函数在上单调递减， 又 ，所以 . ［素养小结］ 利用函数的奇偶性与单调性比较大小，需要注意看自变量是否在同 一单调区间上. （1）在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同 一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 角度2 解不等式 例3（1）若定义域为的奇函数在区间 上单调递增，则 不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 为上的奇函数，，又在区间 上 单调递增，在上单调递增， 由不等式 得， ，解得 ， 不等式的解集为 .故选A. √ （2）已知定义在上的函数在 上单调递增，若函数 为偶函数，且，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由函数为偶函数，可知函数 的 图象关于直线对称，又函数在 上单调递增，所以函数在 上单 调递减，由，知，作出函数 的大致图象，如图所示. 由图可知，当 时，，则； 当时，，则 ； ... ...
