第二章 一元二次函数、方程和不等式 2．3 二次函数与一元二次方程、不等式 明确目标 发展素养 1．掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际应用． 4．会解一元二次不等式中的恒成立问题. 1．通过解一元二次不等式，培养数学运算素养． 2．通过“三个二次”关系的应用，提高数学运算和逻辑推理素养． 3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养． 4．借助一元二次不等式的应用，培养数学建模素养. 第一课时 一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3．“三个二次”的关系 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
0(a>0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1＜x＜x2} [微思考] (1)如何理解一元二次不等式中的“一元”与“二次”？ 提示：“一元”即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． “二次”即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. (2)如何理解一元二次不等式的“解”与“解集”？ 提示：一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集是部分与整体的关系，不要将二者混淆．如1是x2＋x＞0的一个解，但x2＋x＞0的解集是一个集合，解集为{x|x＜－1或x＞0}． 题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 [典例1] 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2＜0. [解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0， 所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为. (2)原不等式可化为2≤0， 所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R. [方法技巧] 解不含参数的一元二次不等式的步骤 【对点练清】 1．不等式x(x＋2)＜3的解集是( ) A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1} C．{x|x＜－1或x＞3} D．{x|x＜－3或x＞1} 解析：选B 由题意x(x＋2)＜3，∴x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解得－3＜x＜1，∴该不等式的解集是{x|－3＜x＜1}，故选B. 2．解下列不等式： (1)－x2＋8x－3＞0； (2)x2－4x－5≤0； (3)－x2＋3x－5＞0. 解：(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－＜x＜4＋}． (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}． (3)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为 . 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 [典例2] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 当a<0时，原不等式可化为(x－1)>0， ∵<1，∴x<或x>1. 当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0. 若<1，即a>1，则1，即0