6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 【课标要求】 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义． 2．在平面内，选定一组向量基底，会用这组基底表示其他向量． 【导学】 学习目标一 平面向量基本定理 师问：(1)如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．你能将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量吗？ (2)上述问题中的分解方法是否唯一？ 生答： 例1 (1)已知e1，e2 是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( ) A．a＝2e1+e2，b＝ B．a＝4e1－2e2，b＝e2－2e1 C．a＝3e1＋3e2，b＝e1+e2 D．a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2 (2)(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是( ) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 总结：(1)两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 跟踪训练1 已知{a，b}是平面内的一个基底，则可以与向量m＝a－b构成平面另一个基底的向量是( ) A．0 B．b－a C．a＋b D．2a－2b 学习目标二 用基底表示向量 例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，点M为AB中点，点N在BD上，且3BN＝BD，记 (1)以a，b为基底表示 (2)求证：M，N，C三点共线． 题后师说 用基底表示向量的两种基本方法 跟踪训练2 如图，已知△ABC中，D为BC的中点，EC，AD，BE交于点F，设 (1)用a，b表示向量＝_____； (2)用a，b表示向量＝_____． 学习目标三 平面向量基本定理的应用 例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC. 总结：解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知的向量表示未知的向量，或找到已知的向量与未知的向量的关系，用方程的观点求出未知量． 跟踪训练3 在△ABC中，D，E分别是线段BC，AC的中点，，P是直线AD与EF的交点，则 【导练】 1．在△ABC中，M是BC的中点．若＝( ) A．(a＋b) B．(a－b) C．a＋b D．a＋b 2．若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( ) A．{a－b，b－a} B．{2a＋b，a＋b} C．{2b－3a，6a－4b} D．{a＋b，a－b} 3．已知非零向量不共线，且＝x+，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( ) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 4．在平行四边形ABCD中，如图，E，F依次是对角线AC上的两个三等分点，设＝a，＝b，试用a与b表示和，则＝_____，＝_____． 【导思】 如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设＝x，＝y，则x＋4y的最小值为( ) 6．3 平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1 平面向量基本定理 导 学 学习目标一 生答：(1) ＝e1，＝λ1e1，＝e2，ON＝λ2e2，根据向量加法的平行四边形法则，＝a＝＝λ1e1＋λ2e2. (2)唯一． 例1 解析：(1)A选项，因为a＝4b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，A错误；B选项，因为a＝－2b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，B错误；C选项，因为a＝3b，所以a，b共线，a，b不能作为基底，C错误；D选项，设a＝mb，则e1－2e2＝，则无解，故a，b不共线，则a＝e1－2e2，b＝2e1＋4e2可以作为基底，D正确．故选D. (2)∵e1，e2是平面α内两个不共线的向量，∴e1，e2可以作为平面α的一个基底 ... ...
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