中小学教育资源及组卷应用平台 第十章 数的开方 专题10.2 实数 基础知识夯实 知识点01 无理数 1．定义 无限不循环小数叫做无理数． 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环。 2．三种常见形式 （1）开方开不尽的数，如 ； （2）含有 的一类数，如 ； （3）以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如 （每相邻两个 1 之间依次多一个 0 ）． 3.无理数与有理数的区别 (1)有限小数和无限循环小数是有理数，而无理数是无限不循环小数; (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式， 注意： 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数．例如： 0.3 是无限小数，但不是无理数． 2．某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数．例如 就不是无理数． 知识点02 实数 1.定义 有理数和无理数统称为实数特别解读:(1)在实数范围内，一个数不是有理数那么它一定是无理数，反之亦成立(2)引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩充到实数，今后我们研究计算问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行 2.分类 (1)按定义分类: 实数 有理数 整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 （2）按性质分类: 实数 正实数 正有理数 正无理数 0 负实数 负有理数 负无理数 注意： 1.实数的分类有不同的方法，但不论用哪一种分类方法都要按同一标准，做到不重复不遗漏 2.0既不是正实数也不是负实数 3.对实数进行分类时，某些数应先进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不能看到带根号的数，就认为是无理数，也不能看到有分数线的数，就认为是有理数 知识点03 实数与数轴 1.实数与数轴上的点的对应关系 实数与数轴上的点是一一对应的 （1）“一一对应”包含着两层含义: ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示②数轴上的每一个点都表示一个实数, （2）数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点 、点 在数轴上表示的数分别为 ，则 ． 2．利用数轴比较实数的大小 对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 注意： 1.在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其大致位置 2.借助数轴上的点可以把实数直观地表示出来，数轴上的任意一点表示的数，不是有理数就是无理数 知识点04 实数的性质 1．相关概念 （1）相反数：实数 的相反数为 ，若a, b互为相反数，则 ； （2）倒数：非零实数 的倒数为 ，若a, b互为倒数，则; 绝对值： 2.比较实数的大小 (1)定义法:正数大于0，0大于一切负数。(2)性质法:两个正数，绝对值大的数大;两个负数 绝对值大的数反而小 注意： 1.在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒数、绝对值)在实数范围内依然适用. 2.对实数的有关概念进行辨析时，错误的说法只需举一个反例即可 知识点05 实数的运算 1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用;实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 2．实数的运算律 加法交换律： ； 加法结合律： ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： ； 乘法分配律： 。 3.运算种类 运算级别 第一级 第二级 第三级 运算名称 加 减 乘 除 乘方 开方 运算结果 和 差 积 商 幂 方根 注意： 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数运算的过程中，要做到: 一“看”--看算式的结构特点能否运用运算律或公式: 二“用”--运用运算律或公式; 三“查”--检查过程和结果是否正确 典型案例探究 知识点01 无理数 例1.（24-25八年级上·四川成都·期中 ... ...
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