2025-2026高中数学人教A版（2019）必修第一册第四章 4.3 对数 同步练习（含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.3 对数 一、单选题 1.（2025广东广州期中）已知，则的值为（ ） A. 3或4 B. 4或5 C. 3 D. 4 2.（2025安徽蚌埠第二中学期中）若且，则（ ） A. B. C. D. 3.（2024江苏连云港高中期中）已知，则（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 4.下列各等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5.（2025四川攀枝花七中月考）已知，，则（ ） A. 9 B. 3 C. D. 6.方程的根为（ ） A. -3 B. 3 C. -1或3 D. 1或-3 二、多选题 7.下列指数式与对数式互化正确的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8.（2025河南南阳方城月考）若，，，则下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9.（2025福建三明一中质量检测）设，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 10.（2025天津西青期中）已知，则_____。 11.方程的解是_____。 12.（2025辽宁大连第二十四中学期中）已知，则是_____位数。 四、解答题 13.计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) 。 14.(1) 已知，，试用，表示； (2) 计算：。 15.解下列方程： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 一、单选题 1.答案：D 解析：根据对数定义，需满足三个条件： 对数为0时，真数=1：，即，解得或； 底数>0且≠1：（得）且（得）； 真数>0：的判别式，恒正。 综上，（因底数=1舍去）。 2.答案：A 解析：指数与对数互化核心公式：若（），则。 由，直接得，故A正确；其他选项均不符合互化规则。 3.答案：C 解析：将对数化为指数形式： 底数为，对数值为4，故； 化简得，结合底数条件且（），解得。 4.答案：D 解析：根据对数运算法则（、）逐一判断： A：是对数乘积≠（对数加法），错误； B：，错误； C：对数真数不能为负，、无意义，错误； D：，正确。 5.答案：D 解析：将目标式化为以2为底的指数幂，结合已知条件变形： 由得； 由得，即，故，，； 目标式：。 6.答案：B 解析：对数相等需满足“真数相等且均为正”： 真数相等：，即，解得或； 真数为正：（得或）且（得）； 综上，（因舍去）。 二、多选题 7.答案：AC 解析：根据指数与对数互化规则（）判断： A：，正确； B：（而非2），对应，错误； C：，正确； D：（而非），错误。 8.答案：AD 解析：由得，由得，由得： A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，，故，正确。 9.答案：AC 解析：由、，结合对数运算法则： A：，正确； B：，错误； C：，正确； D：，错误。 三、填空题 10.答案：5 解析：由外向内逐层求解： 若，则（对数为0时真数=1），故； 若，则。 11.答案：1 解析：用换底公式统一底数（）： 原方程化为：； 由对数加法法则：，故； 解方程，得或； 检验：（真数）、且（底数），故（舍去）。 12.答案：963 解析：利用对数估算位数：若（），则的位数为。 设，则； 故，的位数为。 四、解答题 13.解：(1)原式 = . (2)方法一： 原式 = . 方法二： 原式 = . (3)原式 = . 14. 解： (1) 用换底公式（）： (2) 分步化简每一项： ； ； ； ； 合并计算： 15. 解： (1) 对数=1时，真数=底数且底数>0≠1、真数>0： 真数=底数：，化简得，解得或； 检验条件： 底数且：得且； 真数：得或； 筛选：（底数=-1<0，舍去），（符合所有条件）。 故方程的解为。 (2) 利用对数加法法则（）： 右边合并：； 对数相等→真数相等：； 换元：设，方程化为； 解方程：或，即（得）或（得）。 故方程的解为或。 (3) 换底公式统一底数为2： ； ； 换元：设，方程化为； 化简求解：→，解得或； 回代：（得），（得）。 故方程的解为或。 (4) 分绝对值正负讨论，换元简化： 换元：设，则，方程化为； 分类讨论： 当时，，方程变为→； 解得（舍去，因），故→； 当时，，方程变为→； 正根为（舍去，因）； 综上 ... ...