数学 必修 第一册 RJA 1.4.2 充要条件 课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 教学重点：1.掌握充要条件的概念.2.理解充要条件的意义.3.会判断条件与结论之间的充要性． 教学难点：充要条件的证明与探求． 核心素养：1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养.2.借助充要条件的应用，培养数学运算素养． 知识点 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，就记作p q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． (3)概括：如果p q，那么p与q互为充要条件． [拓展] 1．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A B，则p是q的充分条件． (2)若B A，则p是q的必要条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)若A?B，则p是q的充分不必要条件． (5)若B?A，则p是q的必要不充分条件． (6)若A，B无包含关系，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．“ ”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件． 1．(充要条件的判断)“三角形全等”是“三角形面积相等”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．(探求充要条件)“x2＝1”的充要条件是_____． 答案：x＝±1 3．(充要条件的传递性)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_____条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充要 题型一 充要条件的判断 例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p：x≠0，q：x＋|x|>0； (2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0； (3)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点． [解] (1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0， 如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以pq， 所以p不是q的充要条件． (2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解， 则a≠0，所以pq， 所以p不是q的充要条件． (3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p q， 所以p是q的充要条件． 【感悟提升】判断充分条件、必要条件及充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：利用集合的包含关系判断． (3)等价法：利用p q与q p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． 【跟踪训练】 1．在下列各题中，试判断p是q的什么条件？ (1)p：M＝{2，4}，q：{2}?M {2，4，5}； (2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数； (3)a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0. 解：(1)因为{2}?M {2，4，5}，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5至少有一个，则集合M可能为{2，4}，{2，5}，{2，4，5}三种情况，所以p是q的充分不必要条件． (2)因为a＋5是无理数 a是无理数，并且a是无理数 a＋5是无理数，所以p是q的充要条件． (3)因为a2＋b2＝0 a＝b＝0，并且a＝b＝0 a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件． 题型二 充要条件的证明 例2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. [证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①证明p q，即证明必要性． ∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根， ∴a×12＋b×1＋c＝0， 即a＋b＋c＝0. ②证明q p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b. ∵ax2＋bx＋c＝0， ∴ax2＋bx－a－b＝0， 即a(x2－1)＋b(x－1)＝0， ∴(x－1)(ax＋a＋b) ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
