5.5.2 简单的三角恒等变换(1) 1. 能用二倍角公式推导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式推导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 活动一 半角公式的推导及理解 我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下几个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换． 思考1 α与有什么关系？ 例1 用cos α表示sin2，cos2，tan2. 思考2 sin2＝，cos2＝，tan2＝这三个式子有什么共同特点？ 求证：tan ＝＝. 1. 例1的结果还可以表示为：sin ＝± ，cos ＝± ， tan ＝± ，并称之为半角公式，符号由角所在象限决定． 2. 降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明． 3. 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点． 活动二 积化和差与和差化积公式的推导及理解 例2 求证： (1) sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)]； (2) sin θ＋sin φ＝2sin cos . 求证： (1) cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)]； (2) sin θ－sin φ＝2 cos sin . 本例的证明过程中用到了换元的思想，如将α＋β看作θ，α－β看作φ，从而将包含 α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，将sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，将等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现． 活动三 三角函数式的化简求值 例3 (1) 已知α∈，化简：＋＝ ； (2) －＝ ． 若α∈，且cos α＝，则＝ ． 化简问题中的“三变”： (1) 变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． (2) 变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3) 变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等． 活动四 证明三角恒等式 例4 求证：＝1－. 求证：＝sin 2α. 三角恒等式证明的思路：通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一． 1. （2024南京期中）若cos α＝－，α∈(0，π)，则cos 的值为( ) A. B. － C. ± D. 2. （2024武威十八中期中）sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( ) A. 0 B. C. D. 1 3. （多选）（2025长春期末）下列各式中，值为的是( ) A. 2sin 75°cos 75° B. 1－2sin 2 C. sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15° D. tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25° 4. （2025湖北部分学校一模）若α∈，且cos 2α＝cos ，则α＝ ． 5. 求证：＝. 5.5.2 简单的三角恒等变换(2) 1. 通过三角恒等变形将形如y＝a sin x＋b cos x的函数转化为y＝A sin (x＋φ)的函数. 2. 灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题． 3. 通过对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力． 活动一 辅助角公式的推导及理解 思考1 三 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
