课时分层训练(四) 认识一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 1．下列各式中一定是一元二次方程的是( B ) A．x2＋x＝2y B．x2＝1 C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋x＋1 2．若方程(a－3)x|a|-1＋2x＝3是关于x的一元二次方程，则a＝ －3 ． 3．已知关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0． (1)当m取何值时，该方程是一元二次方程？ (2)当m取何值时，该方程是一元一次方程？ 解：(1)∵关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元二次方程， ∴ 解得m＝1． ∴当m＝1时，原方程是一元二次方程． (2)∵关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是一元一次方程， ∴或 解得m＝－1或m＝0． ∴当m＝－1或0时，原方程是一元一次方程． 知识点二 一元二次方程的一般形式 4．一元二次方程3x2－2x－1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( D ) A．3x2，2x，1 B．3x2，－2x，－1 C．3，2，1 D．3，－2，－1 5．方程3x(x－1)＝5的二次项系数是 3 ，一次项系数是 －3 ，常数项是 －5 ． 6．关于x的一元二次方程2(x－1)2＋b(x－1)＋c＝0化为一般形式后为2x2－3x－1＝0，求b，c的值． 解：原方程可化为2(x2－2x＋1)＋b(x－1)＋c＝0， 整理，得2x2＋(b－4)x＋2－b＋c＝0， 所以b－4＝－3，2－b＋c＝－1， 解得b＝1，c＝－2． 知识点三 一元二次方程的解 7．一元二次方程x2＋mx＝2的一个根为2，则m的值为( C ) A．1 B．2 C．－1 D．－2 8．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0有一根为0，则m的值为( B ) A．1 B．－1 C．±1 D．0 9．若关于x的一元二次方程mx2－nx－1＝0(m≠0)的一个根是x＝1，则m－n的值是 1 ． 10．已知m是方程x2－2x－3＝0的一个根，求代数式2 035＋8m－4m2的值． 解：∵m是方程x2－2x－3＝0的一个根， ∴m2－2m－3＝0． ∴m2－2m＝3． ∴2 035＋8m－4m2＝2 035－4(m2－2m)＝2 035－4×3＝2 023． 11．下列方程中，属于一元二次方程的是( D ) A．－3x＋2＝0 B．2x2＋y－1＝0 C．2x－3y＋1＝0 D．x2－x－3＝0 12．一元二次方程2x2－3x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别是( D ) A．2，－1 B．2，0 C．2，3 D．2，－3 13．若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 025的值为( D ) A．2 025 B．2 026 C．2 027 D．2 028 14．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若a＋b＋c＝0，则该方程一定有一个根为( C ) A．x＝0 B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝2 15．若a是方程2x2＋4x－3＝0的一个根，则a2＋2a－1的值是( C ) A．1 B．2 C． 16．若关于x的方程(m－1)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则m的值不可能是 1 ． 17．将2x(x－1)＝x＋4化成一元二次方程的一般形式，并写出一次项系数和常数项． 解：方程整理，得2x2－3x－4＝0， 则一次项系数为－3，常数项为－4． 18．已知x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根，求代数式a(a－1)＋a2＋5a的值． 解：∵x＝1是关于x的方程x2＋2ax＋a2＝3的一个根， ∴1＋2a＋a2＝3．∴a2＋2a＝2． ∴a(a－1)＋a2＋5a＝a2－a＋a2＋5a＝2a2＋4a＝2(a2＋2a)＝4． 【创新运用】 19．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，例如，3x2＋5x＋4＝0是“勾系一元二次方程”．请解决下列问题： (1)试判断方程x2＋2x＋1＝0 是 “勾系一元二次方程”；(填“是”或“不是”) (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积． 解：(1)在方程x2＋2x＋1＝0中， ∵a＝1，b＝1，∴c＝． ∴c＝＝2． ∴方程x2＋2x＋1＝0是“勾系一元二次方程”． 故答案为是． (2)当x＝－1时，有a－c＋b＝0，即a＋ ... ...
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