31　专项突破提升(三)　圆中辅助线的引入方法与规律（教师版）初中数学青岛版九年级上册

专项突破提升(三)　圆中辅助线的引入方法与规律 类型一　添加半径，构造等腰三角形 1．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径． 解：如图，连接OA，OB． ∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°． 在Rt△AOB中，OA2＋OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB，∴2OA2＝4． ∴OA＝(负值已舍去)．∴⊙O的半径是． 类型二　遇弦添加过圆心的垂线段或圆的半径 2．(8分)如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上．若⊙O的半径为5，BP＝6，AP＝2，求OP的长度． 解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为点C． ∴AC＝BC＝AB＝×(2＋6)＝4． 在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4， ∴OC＝＝3． 在Rt△COP中，PC＝AC－AP＝4－2＝2，OC＝3， ∴OP＝＝， 即OP的长度为． 类型三　遇直径构造直径所对的圆周角 3．(8分)如图，AB为半圆O的直径，CD⊥AB于点D，求证：CD2＝AD·BD． 证明：如图，连接AC，BC． ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ADC＝90°． ∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°． ∴∠A＋∠B＝90°． ∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°． ∴∠B＝∠ACD．∴△CDB∽△ADC． ∴＝．∴CD2＝AD·BD． 类型四　遇相切，过切点连圆心得半径 4．(10分)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在上，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，∠BEF＝∠CAE． (1)求证：AE平分∠BAC； (2)若BF＝10，EF＝20，求AC的长． (1)证明：如图，连接OE，交BC于点G． ∵EF与⊙O相切于点E， ∴∠OEF＝90°．∴∠BEF＋∠OEB＝90°． ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°． ∴∠EAB＋∠OBE＝90°． ∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE． ∴∠BEF＝∠EAB． ∵∠BEF＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠EAB．∴AE平分∠BAC． (2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°． ∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO． ∵∠CAE＝∠EAB， ∴∠CAE＝∠AEO．∴AC∥OE． ∴∠C＝∠OGB＝90°．∴CG＝BG． ∵OA＝OB， ∴OG是△ACB的中位线．∴AC＝2OG． ∵∠F＝∠F，∠BEF＝∠BAE， ∴△FEB∽△FAE．∴＝． ∴＝．∴AF＝40． ∴AB＝AF－BF＝40－10＝30． ∴OA＝OB＝OE＝AB＝15． ∵∠OGB＝∠OEF＝90°， ∴BC∥EF．∴＝． ∴＝，解得OG＝9． ∴AC＝2OG＝18． 类型五　作半径，证垂直或作垂直，证半径 5．(10分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC，交AC的延长线于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长． (1)证明：如图，连接OD． ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO． ∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD． ∴∠ADO＝∠DAE．∴OD∥AE． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ∵DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°． ∵OD∥AE，∴∠ODE＝180°－∠E＝90°． ∴OD⊥DE． ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． (2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°． ∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3． ∴AF＝4，BA＝6． ∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°． ∴∠ADB＝∠DFB． ∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD． ∴＝．∴BD2＝BF·BA＝2×6＝12． ∴BD＝2． 6．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径，在△ABC同侧作半圆O． (1)求证：AB与半圆O相切； (2)若AB＝5，AC＝4，求半圆O的半径． (1)证明：如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠BHO＝∠BCO＝90°． ∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OH⊥AB， ∴OH＝OC．∴AB与半圆O相切． (2)解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3． ∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC， ∴BC是半圆O的切线． ∵AB与半圆O相切， ∴BH＝BC＝3．∴AH＝AB－BH＝5－3＝2． ∵OH⊥AB，∴∠OHA＝∠BCA＝90°． ∵∠A＝∠A，∴△OAH∽△BAC． ∴＝，即＝， 解得OH＝，即半圆O的半径是． 类型六　遇不规则的图形求面积，添线求规则图形面 ... ...