24　专项突破提升(二)　解直角三角形的综合应用（教师版）初中数学鲁教版（五四制）九年级上册

专项突破提升(二)　解直角三角形的综合应用 (建议用时：90分钟　满分：72分) 模型一　单一直角三角形型 1．(4分)如图，海中有一小岛A，在点B处测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从点B出发自西向东航行10 n mile到达点C处，在点C处测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为(　D　) A． n mile B． n mile C．20 n mile D．10 n mile 解析：如图，连接AC. 由题意，得AC⊥CB. 在Rt△ACB中，∠ABC＝90°－30°＝60°，BC＝10 n mile， ∴AC＝BC tan 60°＝10 n mile， ∴此时渔船与小岛A的距离为10 n mile. 2．(6分)我校组织学生开展综合实践活动．数学小组的同学们在距一栋写字楼20 m的点B处，用高为0.8 m的测角仪AB测得写字楼顶点C的仰角为63°，求写字楼CD的高度．(参考数据：sin 63°≈0.89，cos 63°≈0.45，tan 63°≈1.96) 解：如图，过点A作AE⊥CD于点E. 在Rt△CAE中，AE＝20 m，∠CAE＝63°， ∴CE＝AE·tan ∠CAE≈20×1.96 ＝39.2(m)， ∴CD＝CE＋ED＝39.2＋0.8＝40(m)， ∴写字楼CD的高度约为40 m． 3．(6分)如图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q-P-M的顶部到地面的距离MN，他们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如表所示． 测量项目 测量数据 从A处测得路灯顶部M的仰角α α＝58° 测角仪到地面的距离AB AB＝1.6 m 路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离BN BN＝2 m 根据以上测量结果，求路灯顶部到地面的距离MN.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60) 解：如图，过点A作AH⊥MN于点H. 由题意，得AH＝BN＝2 m， HN＝AB＝1.6 m. 在Rt△AMH中，tan α＝， ∴MH＝AH·tan 58°≈2×1.60＝3.2(m)， ∴MN＝MH＋HN＝3.2＋1.6＝4.8(m)． 故路灯顶部到地面的距离MN约为4.8 m． 模型二　背靠背型 4．(4分)如图，大坝横断面的斜坡AB的坡比i＝1∶2，背水坡CD的坡比i＝1∶1.若AB的长度为6 m，则斜坡CD的长度为(　B　) A．6 m B．6 m C．6 m D．3 m 解析：如图，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD. ∴四边形BEFC为矩形． 设BE＝x m，则AE＝2x m. 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE2＋AE2＝AB2， 即x2＋(2x)2＝(6)2， 解得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)． ∵背水坡CD的坡比i＝1∶1， ∴CF＝DF＝BE＝6 m. 在Rt△CFD中，根据勾股定理，得CD＝＝＝6(m)． 5．(6分)“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10 m，求该建筑物BC的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73) 解：根据题意，得∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC. ∵AD⊥BC，∴∠BDA＝∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°， ∴BD＝AD＝10 m. 在Rt△ACD中，CD＝AD·tan ∠CAD＝AD·tan 60°＝10(m)， ∴BC＝BD＋CD＝10＋10≈27.3(m)， 即该建筑物BC的高度约为27.3 m. 6．(8分)小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB与CD的高度差．如图，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼AB的底端B，即点E，C，B在同一条直线上．此时，测得点B的俯角α＝22°，点A的仰角β＝16.7°，并测得EF＝48 m，FD＝50 m．已知EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，点F，D，B在同一水平直线上．求楼AB与CD的高度差．(参考数据：sin 16.7°≈0.29，cos 16.7°≈0.96，tan 16.7°≈0.30，sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40) 解：如图，过点C作CG⊥EF于点G，过点E作EH⊥AB于点H. ∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CG＝FD＝50 m，HB＝EF＝48 m. 在Rt△CGE中，CG＝50 m，∠ECG＝α＝22°， ∴EG＝CG·tan ∠ECG≈50×0.40＝20(m)， ∴CD＝FG＝EF－EG＝48－20＝28( ... ...