34　专项突破提升(一)　构造全等三角形的方法（教师版）初中数学鲁教版（五四制）七年级上册

专项突破提升(一)　构造全等三角形的方法 方法一　补形法 1．(8分)如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD，交BD的延长线于点E.试说明：BD＝2CE. 解：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F. 因为CE⊥BE，∠BAC＝90°， 所以∠ABD＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°. 所以∠ABD＝∠ACF. 在△ABD和△ACF中， 所以△ABD≌△ACF(ASA)． 所以BD＝CF. 因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠EBC＝∠EBF. 在△BCE和△BFE中， 所以△BCE≌△BFE(ASA)． 所以CE＝EF. 所以CF＝2CE. 所以BD＝CF＝2CE. 2．(8分)如图，△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，使AE＝BD，连接EC，ED.试说明：CE＝DE. 解：如图，延长BD至点F，使DF＝BC，连接EF. 因为AE＝BD，△ABC为等边三角形， 所以DF＝BC＝AB，∠B＝60°. 所以AE＋AB＝BD＋DF，即BE＝BF. 所以△BEF为等边三角形． 所以∠F＝60°，BE＝EF. 在△ECB和△EDF中， 所以△ECB≌△EDF(SAS)． 所以CE＝DE. 方法二　截长补短法 3．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE相交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由． 解：BE＋CD＝BC.理由如下： 如图，在BC上取点G，使CG＝CD. 因为BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB， 所以∠EBO＝∠GBO，∠DCO＝∠GCO. 所以∠BOC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×(180°－60°)＝120°. 所以∠BOE＝∠COD＝60°. 在△COD和△COG中， 所以△COD≌△COG(SAS)． 所以∠COG＝∠COD＝60°. 所以∠BOG＝120°－60°＝60°＝∠BOE. 在△BOE和△BOG中， 所以△BOE≌△BOG(ASA)． 所以BE＝BG. 所以BE＋CD＝BG＋CG＝BC. 4．(8分)如图，在△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，BE是∠ABC的平分线．试说明：AE＋BE＝BC. 解：如图，延长BE到点F，使BF＝BC，连接FC，在BC上取CF′＝CF，连接EF′. 因为AB＝AC，∠A＝100°， 所以∠ABC＝∠ACB＝40°. 因为BE平分∠ABC， 所以∠ABE＝∠EBC＝20°. 因为BF＝BC， 所以∠F＝∠BCF＝80°. 所以∠FCE＝∠ACB＝40°. 在△FCE和△F′CE中， 所以△FCE≌△F′CE(SAS)． 所以EF＝EF′，∠EF′C＝∠F＝80°. 所以∠BF′E＝100°. 所以∠A＝∠BF′E. 在△ABE和△F′BE中， 所以△ABE≌△F′BE(AAS)． 所以AE＝EF′.所以AE＝EF. 所以AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝BC. 5．(8分)如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD，AG.试说明：AD＝AG. 解：因为BE⊥AC，CF⊥AB， 所以∠HFB＝∠HEC＝90°. 又因为∠BHF＝∠CHE， 所以∠ABD＝∠GCA． 在△ABD和△GCA中， 所以△ABD≌△GCA(SAS)． 所以AD＝AG. 6．(8分)如图，在△ABC(AB≠AC)中，点D，E在边BC上，且DE＝EC，过点D作DF∥BA，交AE于点F，DF＝AC.试说明：AE平分∠BAC. 解：如图，延长FE到点G，使EG＝EF，连接CG. 在△DEF和△CEG中， 所以△DEF≌△CEG(SAS)． 所以DF＝GC，∠DFE＝∠G. 因为DF∥AB， 所以∠DFE＝∠BAE. 所以∠G＝∠BAE. 因为DF＝AC， 所以GC＝AC. 所以∠G＝∠CAE. 所以∠BAE＝∠CAE， 即AE平分∠BAC. 7．(8分)如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数． 解：如图，延长EB到点G，使得BG＝DF，连接AG. 易知在△ABG和△ADF中， 所以△ABG≌△ADF(SAS)． 所以∠DAF＝∠BAG，AF＝AG. 因为BE＋DF＝EF，所以BE＋BG＝EF， 即EG＝EF. 在△AEG和△AEF中， 所以△AEG≌△AEF(SSS)． 所以∠EAG＝∠EAF. 因为∠DAF＋∠EAF＋∠BAE＝90°， 所以∠EAG＋∠EAF＝90°. 所以∠EAF＝45°. 方法三　倍长中线法 8．(10分)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F. (1)若BE＝AC，试说明：AF＝EF； (2)若AF＝EF，试说明：BE＝AC. 解：(1)如图， ... ...