专项突破提升(四) 一次函数的性质及应用 (时间：90分钟 满分：136分) 类型一 一次函数与图象信息 1．(12分)某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1 h到达某活动中心参加实践活动．上午11：00他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在中午12：00前回到家．他即刻按照来活动中心时的路线，以5 km/h的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20 km处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x h后，到达离家y km的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系． (1)活动中心与小宇家相距 22 km，小宇在活动中心活动的时间为 2 h，他从活动中心返回家时，步行用了 0.4 h； (2)求线段BC所表示的y(km)与x(h)之间的关系式(不必写出x的取值范围)； (3)根据上述情况(不考虑其他因素)，请判断小宇能否在中午12：00前回到家，并说明理由． 解：(1)由题图知，活动中心与小宇家相距22 km， 小宇在活动中心活动的时间为3－1＝2(h)， 小宇从活动中心返回家时，步行所用时间为(22－20)÷5＝0.4(h)． 故答案为：22；2；0.4. (2)根据题意，得y＝22－5(x－3)＝－5x＋37. (3)能．理由如下： 因为爸爸从家开车接上小宇，立即保持原来的车速原路返回， 所以小宇从活动中心返回家所用时间为 0．4＋0.4＝0.8(h)． 因为0.8<1， 所以小宇能在中午12：00前回到家． 类型二 一次函数表达式与图象的性质 2．(12分)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)． (1)求这个一次函数的表达式； (2)若当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx＋b的值，请直接写出m的取值范围． 解：(1)因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到， 所以k＝1. 将点(1，2)代入y＝x＋b，得1＋b＝2， 解得b＝1. 所以一次函数的表达式为y＝x＋1. (2)把点(1，2)代入y＝mx，得m＝2. 因为当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝x＋1的值，所以结合如图的图象可得m≥2. 类型三 一次函数与面积运算 3．(12分)如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角尺ABC放在第三象限，其中B，C两点在两坐标轴上，点C的坐标为(0，－4)，直角顶点B的坐标为(－1，0)，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A，C，交x轴于点D. (1)求点A的坐标； (2)求直线AC与两坐标轴围成的三角形的面积． 解：(1)如图，作AE⊥x轴，垂足为点E. 易知∠ABC＝90°，BA＝BC，BO＝1，OC＝4，所以∠ABE＋∠CBO＝90°. 在Rt△AEB中，因为∠ABE＋∠EAB＝90°， 所以∠CBO＝∠EAB. 在△AEB和△BOC中， 所以△AEB≌△BOC(AAS)． 所以AE＝BO＝1，BE＝OC＝4. 所以OE＝OB＋BE＝1＋4＝5. 所以点A的坐标为(－5，－1)． (2)把点A(－5，－1)，C(0，－4)代入y＝kx＋b，得－5k＋b＝－1，b＝－4. 将b＝－4代入－5k＋b＝－1，得－5k－4＝－1，解得k＝－. 所以一次函数的表达式为y＝－x－4. 所以当y＝0时，x＝－. 所以点D的坐标为. 所以直线AC与两坐标轴围成的三角形的面积为OD·OC＝×4＝. 4．(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B，C，与直线OA交于点A．已知点A的坐标为(－3，5)，OC＝4. (1)分别求出直线AB，AO的表达式； (2)求△AOB的面积． 解：(1)设直线AO的表达式为y＝kx(k≠0)． 将点A(－3，5)代入y＝kx，得5＝－3k， 解得k＝－. 所以直线AO的表达式为y＝－x. 因为OC＝4，点C在y轴正半轴， 所以点C的坐标为(0，4)． 设直线AB的表达式为y＝mx＋n(m≠0)． 将点A(－3，5)，C(0，4)代入y＝mx＋n，得－3m＋n＝5，n＝4. 把n＝4代入－3m＋n＝5，解得m＝－. 所以直线AB的表达式为y＝－x＋4. (2)当y＝0时，即－x＋4＝0， 解得x＝12. 所以OB＝12. 如图，过点A作AD ... ...
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