创新考向集训 (时间：90分钟 满分：112分) 创新考向一 规律探究 1．(4分)如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 025次运动后动点P的坐标是 (2_025，1) ． 解析：由题意，得p1(1，1)，p2(2，0)，p3(3，2)，p4(4，0)，p5(5，1)…… 可以看出点P的运动，横坐标为点P运动的第几次，纵坐标为1，0，2，0的循环， 2 025÷4＝506……1. 所以经过第2 025次运动后动点P的坐标是(2 025，1)． 2．(12分)在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：A4( 2，0 )，A8( 4，0 )，A10( 5，1 )，A12( 6，0 )； (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)； (3)指出蚂蚁从点A2 023到点A2 024的移动方向． 解：(1)由题图可知，A4，A8，A12都在x轴上， 因为小蚂蚁每次移动1个单位长度， 所以OA4＝2，OA8＝4，OA12＝6. 所以A4(2，0)，A8(4，0)，A12(6，0)． 同理可得A10(5，1)． 故答案为：2，0；4，0；5，1；6，0. (2)根据(1)可知OA4n＝4n÷2＝2n， 所以点A4n的坐标为(2n，0)． (3)因为2 023÷4＝505……3， 所以从点A2 023到点A2 024的移动方向与从点A3到点A4的方向一致，为向右． 创新考向二 推理论证 3．(10分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到四边形AB′C′D′的位置，连接AC′，AC，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理． 解：四边形BCC′D′为直角梯形， 所以S梯形BCC′D′＝(BC＋C′D′)·BD′＝. 又因为∠AB′C′＝90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′，所以∠BAC＝∠B′AC′. 所以∠CAC′＝∠CAB′＋∠B′AC′＝∠CAB′＋∠BAC＝90°. 所以S梯形BCC′D′＝S△ABC＋S△CAC′＋S△D′AC′ ＝ab＋c2＋ab ＝. 所以＝. 所以a2＋b2＝c2. 4．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形称为筝形．根据以往的学习经验，小颖对筝形的性质进行了探究．她通过观察、试验、猜想、验证得到筝形的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮她将解题过程补充完整． 已知：如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD. 试说明： ∠B＝∠D ． 解： 解：如图，连接AC. 在△ABC和△ADC中， 所以△ABC≌△ADC(SSS)． 所以∠B＝∠D. 创新考向三 新定义 5．(14分)对于平面直角坐标系中的任意一点P(x，y)，给出如下定义：记a＝－x，b＝x－y，那么我们把点M(a，b)与点N(b，a)称为点P的一对“和美点”．例如，点P(－1，2)的一对“和美点”是点(1，－3)与点(－3，1)． (1)点A(4，1)的一对“和美点”的坐标是 (－4，3) 与 (3，－4) ； (2)若点B(2，y)的一对“和美点”重合，则y的值为 4 ； (3)若点C的一个“和美点”的坐标为(－2，7)，求点C的坐标． 解：(1)因为A(4，1)， 所以a＝－4，b＝4－1＝3. 所以点A(4，1)的一对“和美点”的坐标是(－4，3)与(3，－4)． 故答案为：(－4，3)；(3，－4)． (2)因为B(2，y)， 所以a＝－2，b＝2－y. 所以点B(2，y)的一对“和美点”的坐标是(－2，2－y)和(2－y，－2)． 因为点B(2，y)的一对“和美点”重合， 所以－2＝2－y. 所以y＝4. 故答案为：4. (3)设点C的坐标为(x，y)． 因为点C的一个“和美点”的坐标为(－2，7)， 所以有两种情况： ①若a＝－2，b＝7，则－x＝－2，x－y＝7， 解得x＝2. 将x＝2代入x－y＝7，解得y＝－5. 所以点C的坐标为(2，－5)． ②若a＝7，b＝－2，则－x＝7，x－y＝－2， 解得x＝－7. 将x＝－7代入x－y＝－2，解得y＝－5. ... ...
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