7.3.1　三角函数的周期性 同步练习（含解析） 高一数学苏教版必修第一册

7.3.1　三角函数的周期性 一、 单项选择题 1 (2025荆州期末)函数f(x)＝sin 的最小正周期是(　　) A. B. C. π D. 2π 2 若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)的值为(　　) A. 1 B. －1 C. 3 D. －3 3 (2025连云港期末)设k为正数，若函数f(x)＝sin 的最小正周期为，则k等于(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4 (2024山东单县一中月考)设函数f(x)＝sin 2x＋sin x，则关于f(x)的结论中正确的是(　　) A. 周期函数，最小正周期为 B. 周期函数，最小正周期为π C. 周期函数，最小正周期为2π D. 非周期函数 5 设f(n)＝cos ，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)等于(　　) A. B. － C. 0 D. 6 已知f(x)是周期为2π的偶函数，且当0≤x≤π时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　) A. 1 B. 0 C. －1 D. 二、 多项选择题 7 下列命题中，不正确的有(　　) A. 存在函数f(x)，其定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数 B. 存在实数T，使得对函数f(x)的定义域上任意一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数 C. 周期函数可能没有最小正周期 D. 周期函数的周期是唯一的 8 下列函数中，是奇函数且最小正周期是π的函数是(　　) A. y＝sin 2x B. y＝sin |x| C. y＝cos D. y＝sin 三、 填空题 9 已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝，且f(1)＝，则f(2 020)＝_____． 10 (2024上海奉贤中学期中)若函数f(x)＝cos ωx(0<ω<π)满足f(x＋π)＝f(x)，则ω＝_____． 11 (2024资阳天立学校月考)已知函数f(x)＝sin (ω>0)的最小正周期为，则f＝_____． 四、 解答题 12 若单摆中小球相对静止位置的位移x(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化而呈现周期性变化，如图所示，请回答下列问题： (1) 单摆运动的周期是多少？ (2) 从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？若从点A算起呢？ (3) 当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？ 13 若函数f(x)的定义域为R，且对一切实数x，都有f(－x)＝f(x)，且f(2＋x)＝f(2－x)，求证：f(x)为周期函数，并求出它的一个周期． 7.3.1　三角函数的周期性 1. C　由题意，得最小正周期是T＝＝π. 2. B　由题意，得f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，所以f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1. 3. C　由f(x)＝sin ，且k为正数，得T＝＝，解得k＝3. 4. C　f＝sin 2＋sin ＝cos 2x＋sin ≠f(x)，故A错误；f(x＋π)＝sin 2(x＋π)＋sin (x＋π)＝sin 2x－sin x≠f(x)，故B错误；f(x＋2π)＝sin 2(x＋2π)＋sin (x＋2π)＝sin 2x＋sin x＝f(x)，故C正确，D错误． 5. B　因为f(n)＝cos 的最小正周期T＝4，且f(1)＝cos ＝cos ＝－，f(2)＝cos ＝－，f(3)＝cos ＝，f(4)＝cos ＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝－. 6. A　由题意，得f＝f＝f＝sin ＝1. 7. ABD　由周期函数的定义，得f(x＋T)＝f(x)对定义域内任意一个x都成立，且T≠0，故A，B错误；对于常数函数f(x)＝1，x∈R，显然是周期函数，但其没有最小正周期，故C正确；若T为周期函数f(x)的一个周期，则f(x＋2T)＝f((x＋T)＋T)＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是其一个周期，故D错误．故选ABD. 8. AC　对于A，函数y＝f(x)＝sin 2x满足f(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，且y＝f(x)＝sin 2x的定义域为R，关于原点对称，则 y＝f(x)＝sin 2x是奇函数，且最小正周期为T＝＝π，故A正确；对于B，函数y＝f(x)＝sin |x|满足f(－x)＝sin |－x|＝sin |x|＝f(x)，且y＝f(x)＝sin |x|的定义域为R，关于原点对称，则y＝f(x)＝sin |x|是偶函数，不是奇函数，故B错误；对于C，y＝cos ＝cos ＝－sin 2x，由A易知y＝ ... ...