2025-2026学年人教版九年级数学上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步提优训练（含答案）

24.1~24.2阶段巩固提优 基础综合 题型1 与圆心角、圆周角有关的计算和证明 1.如图,在⊙O 中,直径CD⊥弦AB 于点 E,AM⊥BC 于点M,交CD 于点N,连接AD. (1)求证:AD=AN; (2)若 2OE,求⊙O的半径. 2.如图,CD 为⊙O 的弦,P 为⊙O 上一点,OP∥CD,∠PCD=15°. (1)求∠POC 的度数; (2)若 ,点 A 在CD 的上方，直接写出∠BPA 的度数. 题型2 与圆的内接四边形有关的计算和证明 3.如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A,C,D,与BC相交于点 E,连接AC,AE. (1)求证:AB=AE; (2)若∠D=75°,求∠EAC的度数. 题型3 切线的判定定理与性质定理的应用 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AB 为直径作⊙O，过点 C 作直线CD 交AB 的延长线于点D,使∠BCD=∠A. (1)求证:CD 为⊙O 的切线; (2)若DE 平分∠ADC,且分别交AC,BC 于点E,F,当CE=2时,求 EF 的长. 思维拓展 5.中考新考法 操作探究如图，⊙O 为等边三角形ABC的外接圆，半径为2，点 D 在劣弧AB上运动(不与点A,B 重合),连接DA,DB,DC. (1)求证:DC 是∠ADB 的平分线. (2)四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x的函数吗 如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由. (3)若点 M,N 分别在线段CA,CB 上运动(不含端点)，经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值t，随着点 D 的运动，t的值会发生变化，求所有 t值中的最大值. 6.中考新考法 项目式学习 (2025·广东江门恩平期末)根据以下素材，探索完成任务. 探索求圆半径的方法 背景素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形(或半圆形)纸片，及一张宽2cm 且足够长的矩形纸带(如图(1))设计了一系列任务，请帮助解决问题. 任务一 若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图(2)位置，使圆经过A，B,G.现测得AG=1cm,则可知该圆的半径为 cm. 任务二 如图(3)，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成图中形式，点A，E,F 在半圆上.若AE=4cm,BF=5cm,求圆的半径. 7.一题多问 (2025·河南三门峡灵宝期中)如图，I是△ABC 的内心,AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D. (1)求证:∠BAD=∠CBD; (2)求证:BD=ID; (3)连接BI,CI,求证:点 D 是△BIC 的外心. 1.(1)∵CD⊥AB,∴∠CEB=90°,∴∠C+∠B=90°. 同理∠C+∠CNM=90°,∴∠CNM=∠B. ∵∠CNM=∠AND,∴∠AND=∠B. ∵∠D=∠B,∴∠AND=∠D,∴AD=AN. (2)如图,连接OA,设OE 的长为x,则ON=2x. ∵AN=AD,CD⊥AB, ∴DE=NE=3x, ∴OD=OE+ED=x+3x=4x, ∴OA=OD=4x. ∵AB⊥CD,AB=2 在 Rt△OAE 中,( 解得x=1(负值舍去)， ∴OA=4,即⊙O的半径为4. 2.(1)∵OP∥CD,∠PCD=15°,∴∠OPC=∠PCD=15°. ∵OP=OC,∴∠OPC=∠OCP=15°. ∴∠POC=180°-∠OPC-∠OCP=150°. (2)∠BPA 的度数为 60°或120°. 3.(1)∵∠D+∠AEC=180°,∠AEB+∠AEC=180°, ∴∠AEB=∠D. ∵四边形ABCD 是菱形,∴∠B=∠D. ∴∠B=∠AEB.∴AB=AE. (2)∵∠AEB=∠D=∠B=75°, ∵四边形ABCD 是菱形,∴BA=BC. 75°)=52.5°.∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=52.5°-30°=22.5°. 4.(1)连接OC.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°. 又OC=OB,∴∠ABC=∠OCB.∵∠BCD=∠A, ∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°. ∵OC 是⊙O 的半径,∴CD 是⊙O 的切线. (2)∵DE 平分∠ADC,∴∠CDE=∠ADE. 又∠BCD=∠A,∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF,即∠CEF=∠CFE.∴CE=CF=2. 5.(1)∵△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°. ∵∠ADC=∠ABC=60°,∠BDC=∠BAC=60°, ∴∠ADC=∠BDC.∴DC 是∠ADB 的平分线. (2)四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x的函数，解析式为 理由如下： 如图(1),将△ADC 绕点C 逆时针旋转60°,得到△BHC,∴CD=CH,∠DAC=∠HBC. ∵四边形ACBD 是圆内接四边形， ∴∠DAC+∠DBC=180°.∴∠DBC+∠HBC=180°. ∴点D,B,H 三点共线. ∵DC=CH,∠CDH=60°,∴△DCH 是等边三角形. ∵四边形 ... ...