母题变式提优(四) 圆中的最值问题 母题学方法1 直径是最长的弦 1.(2025·江苏徐州新沂期中)如图，AB 是⊙O 的弦,点 P 为优弧APB 上的一点,∠APB的平分线交⊙O 于点Q，AB=6,∠APB=60°,则在点 P运动的过程中，PQ 长的最大值为（ ）. A. 2 B. 4 C.6 子题练思维 变式1.1 (2025·江苏徐州期中)如图,AB 是⊙O 的弦,C 是优弧AmB上一动点,连接AC,BC,点 D,E分别是 AB,BC 的中点,连接DE.若AB=2 ,∠ACB=60°,则DE的最大值为 . 变式1.2 如图,AB,BC是以O为圆心，半径为4 的圆的两条弦,∠B=60°,且点 O 在∠B内,则AC= ;若点 D是劣弧AC 上的一个动点，点M,N,P 分别是AD,CD,BC 的中点,则 PN+MN 的长度的最大值为 . 母题学方法2 圆上一点到定点的距离最值问题 2.如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A是⊙O 上的一个动点，∠ACB=90°,腰 AC 与斜边AB 分别交⊙O 于点E,D,分别过点 D,E 作⊙O 的切线交于点F，且点 F 恰好是腰BC 上的点，连接OC，OD,OE,若⊙O的半径为4,则OC 的最大值为( ). C.6 D. 8 子题练思维 变式2.1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC 半径为1的⊙O在Rt△ABC 内平移(⊙O 可以与该三角形的边相切)，则点 A 到⊙O 上的点的距离的最大值为（ ）. 变式2.2如图，点A，B 的坐标分别是A(4,0),B(0,4),点C为坐标平面内一动点，BC=2，点M 为线段AC 的中点，连接OM,则OM 的最大值为( ). 变式2.3 (2025·福建福州台江区期中)如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为(4,3),点 P 是⊙M上的任意一点,PA⊥PB,且 PA,PB 与x轴分别交于A,B 两点,若点 A,B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为 . 母题学方法3 过圆内定点的弦长最值 3.(2025·浙江金华东阳期末)如图，点A 是以原点O 为圆心的圆与x轴的一个交点，直线y= kx+2k+2交⊙O于B,C两点，已知弦BC 的最小值为2，则点 A 的坐标为（ ）. A. (2,0) B.( ,0) C .(3,0) D. (2 ,0) 子题练思维 变式3.1(2025·湖北黄石大冶期中)如图,⊙O 的半径为 10,AB 是⊙O的弦,AB=12,点 P 在弦AB上,则线段OP 的最小值是 . 母题学方法4 利用代数法求最值 根据具体问题设出未知数，利用一元二次方程根的判别式或配方法求最值. 4.如图,AB 是⊙O 的弦,OM⊥AB 于点 M,若⊙O 的半径为1,求OM+AB 的最大值. 子题练思维 变式4.1实验班原创如图，在扇形OAB中,OA=OB=2,∠AOB=60°,点 C在弧AB 上,CD⊥AO,垂足为 D,则△OCD 面积的最大值为（ ）. (变式4.1) A. C.1 D. 变式4.2 实验班原创如图,已知 ABCD 中,AD=6,∠ADC=45°,以AB 为直径的圆经过点 C,Q为线段DC 上任一点(与点 D，点C 不重合)，过点Q 作直线 PE⊥AD 于E,交射线 BC 于 P,求△DPQ的面积的最大值. 母题学方法 5 隐圆问题中的最值 5.(2025·浙江金华永康期中)如图，在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BC=3,AC=5,点 D 是其内部一动点,且∠DBC=∠BAD,则C，D两点的最小距离为（ ）. A. 3 B. 4 子题练思维 变式5.1(2025·山东日照东港区北京路中学期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点 E 是平面内一点，连接AE,BE,且∠AEB=90°,点O 是正方形AB-CD 的中心，连接EO，线段 EO 绕点O逆时针旋转90°得到线段 FO,连接 EF,则 EF 的最大值是 . 变式5.2 在 Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4，D，E 分别是AB，AC 的中点，若等腰直角三角形 ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰直角三角形AD E ,记直线BD 与CE 的交点为 P,求点 P 到AB 所在直线的距离的最大值. 1. B [解析]如图,连接AQ,由题意，得当 PQ 为⊙O 的直径时，PQ 的长最大. ∵PQ 平分∠APB, ∵PQ为⊙O的直径, ∴AP=BP,∠PAQ=90°,∴AP=PB, ∴△PAB 是等边三角形,∴AP=AB=6. 在 Rt△APQ中,PQ=2AQ, (负值已舍去). 即在点 P 运动的过程中，PQ长的最大值为4 .故选 B.归纳总结 这类问题可以转化为“直径是最长的弦”，即运用相关知识得到所求的线段与 ... ...
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