21.1一元二次方程知识梳理+跟踪训练（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

中小学教育资源及组卷应用平台 21.1一元二次方程知识梳理+跟踪训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版 【知识梳理】 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【跟踪训练】 一、选择题 1．关于x的方程是一元二次方程，则（　　） A． B． C． D． 2．下列是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5 4．下列各数是一元二次方程的根的是（　　） A．1 B．5 C．2 D．3 5．若关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值只能是（　　） A．1 B．1， C． D．以上都不对 6．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A． B．2023 C． D．2024 二、填空题 7．已知是一元二次方程的一个根，则的值是　 　． 8．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　 　． 9．已知，m、n是一元二次方程的两个根，则　 　. 10．关于的方程是一元二次方程，则的值是　 　． 三、解答题 11．已知关于x的方程 的解都是整数，求整数k 的值. 12．已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？ 13．已知是关于的方程的根，求代数式的值． 14．关于的方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求的周长． 15．先化简，再求值：，其中是方程的根． 16．已知关于的方程． （1）当为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】2010 10．【答案】 11．【答案】解 当k=4或k=8时，分别求得x=1或x=-2. 当k≠4且k≠8时，原方程可化为[(4-k)x-8][(8-k)x-4]=0， ∵k为整数，且x1，x2均为整数， ∴4-k=±1，±2，4，±8，得k=3，5，2，6，0，-4，12或8-k=±1，±2，-4，得k=7，9，6，10，12. 故当 k 的值为4，6，8，12时，原方程的根都为整数 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】21或24 15．【答案】， 16．【答案】（1）解：由一元一次方程得定义， ... ...