第五节 向量的坐标表示 ▍知识点1:平面向量的正交分解及坐标表示 （1）平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解. （2）平面向量的坐标产生过程: ①建系选底:在平面直角坐标系中,设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为、,取作为基底. ②线性表示:对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,,使得. ③定义坐标:有序数对叫做向量的坐标. ▍知识点2:点坐标与向量坐标的区别与联系 （1）表示形式不同 向量中间用等号连接,而点中间没有等号 （2）意义不同 点的坐标表示点在平面直角坐标系中的位置,的坐标既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外,既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点或向量 （3）联系:当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. ［对应练习:基础1］ ▍知识点3:平面上向量的运算与坐标的关系 （1）向量的运算 已知平面上的两个向量,满足, . ①且.即平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等. ②. ③. ④. 重要结论: 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减区起点的坐标;即已知向量的起点,终点,则. ［对应练习:基础2］ ▍知识点4:向量共线的坐标表示 设,其中.向量共线的充要条件是存在唯一的实数,使得.用坐标表示为,即消去,得.这就是说,向量共线的充要条件是. ［对应练习:题型1］ ▍知识点5:中点坐标公式 设,为平面直角坐标系中的两点. 中点坐标公式:设线段中点为,则,. 拓展:线段定比分点 （1）设点是线段上不同于的点,且满足,即叫做点分有向线段所成的比,点叫做有向线段的以为定比的定比分点. （2）定比分点的坐标表示:设, 则 即 当时,解得则点的坐标为. 特别地:（1）当时,点的坐标为,,这就是线段的中点坐标公式; （2）若,则点在的延长线上或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及共线向量定理同样可得点的坐标为, ［对应练习:题型2］ ▍知识点6:向量数量积的坐标表示 设两个非零向量,,则,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. ［对应练习:题型3］ ▍知识点7:向量的模 设,为平面直角坐标系中的两点. 则. 如果向量,则. ［对应练习:题型4］ ▍知识点8:投影与投影向量的坐标表示 设两个非零向量, 投影（数量）:向量在向量方向上的投影为 投影向量:向量在向量上的投影向量为. ［对应练习:题型5］ ▍知识点9:向量夹角的坐标表示 设,都是非零向量,,,是,的夹角,则 若,垂直,则,即. ［对应练习:题型6］ 向量的正交分解及坐标表示 【典例 1】如图,设为一组标准正交基,用这组标准正交基分别表示向量,,,,并求出它们的坐标. 【典例 2】（多选）已知向量,对坐标平面内的任一向量,下列说法错误的是（ ） A.存在唯一的一对实数,使得 B.若,则,且 C.若x,y∈R,,且,则的起点是原点O D.若x,y∈R,,且的终点坐标是,则 【练习 3】平面直角坐标系中,的坐标（ ） A.与点的坐标相同 B.与点的坐标不相同 C.当与原点重合时,与点的坐标相同 D.当与原点重合时,与点的坐标相同 【练习 4】在平面直角坐标系内,已知 、分别是x轴与y轴正方向上的单位向量,若,则的坐标为 . 【练习 5】已知,且的坐标表示的点在第四象限,则x的取值范围是 . 【练习 6】（2024·高一课时练习）若为正交基底,设（其中x∈R）,则向量对应的坐标位于（ ） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 【练习 7】在平面直角坐标系中,向量,的方向如图所示,且,,求与的坐标. 向量线性运算的坐标表示 角度1:向量加减法的坐标表示 【典例 8】已知,两点的坐标,求,的坐标. （1）,; （2）,; （3）,; （4）,. 【变式 9】（2024·河南郑州高一）已知平面上三点,,,则的坐标是 . 【练习 10】若,则向量 ,向量 . 【练习 11】（2024·全国高一）在中,AC为 ... ...
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