(课件网) 华东师大版·八年级上册 12.3 等腰三角形 12.3.2 等腰三角形的判定 复习回顾 等腰三角形的性质： A B C 1.等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 思考：对于一个三角形，要怎样来判定它是不是等腰三角形呢？除了定义法，还有没有其他的判定方法 探究新知 我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？ 画画看，你发现了什么？ 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ A B C AB=AC 你能验证你的结论吗？ 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. A B C 思考︰（1）证明两条线段相等常用什么方法？ （2）有哪些构造全等三角形的方法？ D 1 2 证明：如图，作∠BAC的平分线AD. 在△BAD与△CAD中， ∵∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD， ∴△BAD≌△CAD(AAS). ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等). 想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？ 由此可得等腰三角形的判定方法： 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简写成“等角对等边”. 等边对等角 等角对等边 A B C 几何语言 在△ABC中， ∵∠B=∠C(已知)， ∴AB=AC(等角对等边). 即△ABC为等腰三角形. 判断：如图，下列推理正确吗？ ∵∠1=∠2， ∴BD=DC(等角对等边). ∵∠1=∠2， ∴DC=BC(等角对等边). 【注意】“等角对等边”的前提是在同一个三角形中. 例4 如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°. 求证：AB=AC. A B C 40° 70° 证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∠A=40°，∠B=70°， ∴∠C=180° ∠A ∠B =180° 40° 70°=70°. ∴∠C=∠B. ∴AB=AC(等角对等边). 思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理： A B C 1.三个角都相等的三角形是等边三角形； 2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这两个定理吗？ 例5 如图，AB∥CD，∠1=∠2. 求证：AB=AC. A B C D 2 1 分析：要证 AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2. 证明：∵AB∥CD， ∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等). 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠1. ∴AB=AC(等角对等边). 例6 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′ =90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. B′ C′ A′ B A B C C′(C ) A′(A ) 证明：由于直角边AC=A′C′，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于A′C′的两侧，如图所示. C′(C ) A′(A ) B′ B ∵∠A′C′B=∠A′C′B′=90°， ∴∠B′C′B=∠A′C′B′ +∠A′C′B=180°，即点B′、C′、B在同一条直线上. 在△A′B′B中， ∵A′B′=AB=A′B， ∴∠B=∠B′(等边对等角). 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵∠B=∠B′，∠ACB=∠A′C′B′，AC=A′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS). 这样我们就证明了前面给出的HL判定定理. 练 习 1. 如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由. A B C D ∠ACB=72° ∠BCD=∠ACD=36° △ACD，△BCD，△ABC都是等腰三角形. 2. 如图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC、BD相交于点E. 求证：EB=EC. B A E D C 证明：在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB， ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴∠ACB=∠DBC(全等三角形的对应角相等). ∴EB=EC(等角对等边). 3. 如图，∠A=∠B，CE∥DA. 求证：CE=CB. 需再增加什么条件 ... ...
