4.2.1 线段垂直平分线及其性质 课件(共17张PPT)2025-2026学年青岛版（2024）初中数学八年级上册

(课件网) 4.2.1 线段垂直平分线及其性质 1.掌握并应用线段的垂直平分线的性质。 如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴。 （1） （2） （3） （4） （5） 想一想线段是轴对称图形吗？ 观察与思考：在线上画一条线段AB(如图①)，将这张纸折叠，使A，B两点重合，将纸展开后铺平，把折痕记为MN，折痕与线段AB的交点记为O(如图②)。观察图②，你有什么发现？ 线段是轴对称图形。 直线MN是线段AB的对称轴，它垂直于线段AB，且平分线段AB。 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 直线MN就是线段AB的垂直平分线 例1 如图，下面说法正确的是( ) A.因为OA＝OB，所以直线CD是线段AB的垂直平分线 B.因为CD⊥AB，所以直线CD是线段AB的垂直平分线 C.因为OC＝OD，AB⊥CD，所以直线CD是线段AB的垂直平分线 D.因为OA＝OB，CD⊥AB，所以直线CD是线段AB的垂直平分线 D 线段的垂直平分线必须满足两个条件： 1.经过线段的中点； 2.垂直于这条线段. 思考 如图③，在直线MN上取一点P，连接PA，PB。线段PA和PB有什么数量关系？改变点P的位置，结论还成立吗？为什么？ PA＝PB，改变点P的位置，结论依旧成立 如何证明 方法一：因为线段AB是轴对称图形，直线MN是它的对称轴，所以沿直线MN对折后，点A与点B重合， 而点P在对称轴上，于是PA与PB重合， 所以PA＝PB。 方法二：因为直线MN是线段AB的垂直平分线， 所以OA＝OB，MN⊥AB，即∠POA＝∠POB＝90°。 又在△POA和△POB中，，所以△POA≌△POB， 所以PA＝PB。 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 例2 海伦是古希腊的一位数学家。相传一位将军曾向他请教过一个问题：“我每天策马往返于河岸同侧的两个边防站之间，途中要到河边让马饮水。怎样才能使路径最短呢？”此问题也叫“将军饮马问题”，抽象成数学问题可表达为：如图，已知A，B两点在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得AP＋BP的值最小。 解：如图，作点B关于直线l的对称点B1， 连接AB1，交直线l于点P，点P就是所求作的点。 理由如下： P B1 因为点B，B1关于直线l对称，所以l是BB1的垂直平分线， 所以PB＝PB1， 所以AP＋PB＝AP＋PB1＝AB1。 在直线l上另外取一点P1，连接AP1，P1B1，P1B。 同理P1B＝P1B1， 因为AP1＋P1B1＞AB1，所以AP1＋P1B1＞AP＋PB， 所以AP＋PB的值最小。 P B1 P1 练一练 1.如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长是多少？ 解：根据线段垂直平分线的性质得CD＝AD， 故△BCD的周长为BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)． 2.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在线段AE的垂直平分线上，则AB，AC，CE的长度关系为( ) A.AB>AC=CE B.AB=AC>CE C.AB>AC>CE D.AB=AC=CE D 解析：因为AD⊥BC，BD=DC，所以AB=AC. 因为点C在线段AE的垂直平分线上，所以AC=CE. 所以AB=AC=CE. 1.如图，AB的垂直平分线为直线MN，点P在MN上，连接PA，PB。下列结论不一定正确的是( ) A.S△APO=S△BPO B.OA=OB C.OP=OB D.PO平分∠APB C 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为( ) A．8 B．11 C．16 D．17 B 3.如图，直线PD和直线PE分别是线段AB，BC的垂直平分线，判断PA和PC的数量关系，并说明理由。 解：PA＝PC。理由如下： 如图，连接PB。 因为直线PD是线段AB的垂直平分线，所以PA＝PB。 同理可得PC＝PB，所以PA＝PC。 回顾本节课内容，回答下列问题： 1.线段的垂直平分线必须满足哪两个条件？ 2.线段垂直平分线的性质定理是什么？ ... ...