微专题 4 全等模型———截长补短 1.(2024黄陂期中)如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF相交于点O,若∠C=60°,求证AF+BE=AB. 2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且 求证:EF=BE+DF. 3.如图,五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证:DA平分∠CDE. 4.在△ABC中,∠ACB=120°,∠CAB=∠B,CA=CB,点E为AB上一点,∠DCE=60°. (1)如图1,当∠DAE=120°时,直接写出DE,AD,BE 三者之间的数量关系. (2)如图2,当∠DAE=60°时,求证:DE+AD=BE. 微专题4 全等模型———截长补短 1.∵AE,BF 是△ABC 的两条角平分线,∠C=60°, ∠C=120°,∴∠AOF=∠BOE=60°,∴在 AB 边上取一点 P,使 AP=AF,连接 OP,∴△AOF≌△AOP(SAS),∴OP=OF,∠AOP=∠AOF=60°,∴∠BOP=60°,∴△BOP≌△BOE(ASA),∴BE= 2.延长CB到G,使BG=FD,连接AG,∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABG=90°,∴∠ABG=∠D,在△ABG和△ADF 中, △ADF(SAS), ∴ AG = AF,∠BAG = ∠DAF,∴∠GAF = ∠BAD, ∵ ∠EAF = ∠BAD,∴∠EAG = ∠EAF, 在 △AGE 和 △AFE 中, ∴EG=EF,即 EF=BE+BG=BE+DF. 3.延长DE到点F,使EF=BC,连接AC,AF,∵∠ABC+∠AED=180°,∠AEF+∠AED=180°,∴∠ABC=∠AEF,∵AB=AE,∴△ABC≌△AEF(SAS),∴AC=AF,∵BC+DE=CD,∴CD=FD,∵AD=AD,∴△ACD≌△AFD,∴∠CDA=∠EDA,∴DA平分∠CDE. 4.(1)AD+BE=DE.提示:延长AB到F,使BF=AD,连接CF.(2)证明:在AB上截取BF=AD,连接CF,∵∠ACB=120°,∴∠CAB=∠B=30°,∵∠DAE=60°,∴∠DAC=30°=∠B,∵CA=CB,∴△CDA≌△CFB(SAS), ∴ CD = CF, ∠DCA = ∠FCB,∴∠DCF=∠ACB=120°,∵∠DCE=60°,∴∠DCE=∠FCE,∵CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=FE,∵FE+BF=BE,∴DE+AD=BE.
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