中小学教育资源及组卷应用平台 专题2.1 平方根 基础知识夯实 知识点01 算术平方根 算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的算术平方根。的算术平方根记为 ，读作：根号。 规定：0的算术平方根是 0 ，即。 知识点02 平方根 平方根的定义：如果一个数的平方等于（≥0），即，那么 叫做 的平方根，也叫做二次方根 。 一个正数有 两个 平方根，这两个平方根互为 相反数 ；0的平方根是 0 ；负数 没有 平方根。 如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负平方根是。 求一个数的平方根的运算叫作开平方。开平方和平方互为逆运算。 平方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动 2位 ，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1位 。如：，，，. 知识点03 平方根与算术平方根的区别与联系 1.平方根和算术平方根的区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和。 2.平方根和算术平方根的联系：（1）平方根包含 算术 平方根；（2）被开方数都是 非负数 ；（3）0的平方根和算术平方根均为 0 。 算术平方根的核心作用是 将平方关系还原为线性关系 ，应用场景需满足以下条件：已知平方量（如面积、方差、平方和等）。通过上述方法，可系统解决几何、物理统计等领域的实际问题。 算术平方根的性质： 典型案例探究 知识点01 算术平方根 例1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）“的算术平方根”用数学符号表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的算术平方根为，故选：A． 【变式1】（2025·江苏南京·二模）36的算术平方根是 ． 【答案】 6 【详解】解：36的算术平方根是，故答案为：6． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）的算术平方根是（ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：，∴4的算术平方根是，即的算术平方根是，故选：A 【变式3】（2024·河北保定·二模）如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（ ） A．m为有理数，n为无理数 B．m为无理数，n为有理数 C．m，n都为有理数 D．m，n都为无理数 【答案】A 【详解】解：由题意，，，∴，， ∴m为有理数，n为无理数，故选：A． 知识点02 平方根 例1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意；故选：． 【变式1】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）的平方根为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的平方根为，故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）已知一个数的一个平方根是，则这个数是 【答案】6 【详解】解：∵，∴这个数是6．故答案为：6． 【变式3】（24-25七年级下·广东中山·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 【答案】 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴，∴，∴，∴这个正数是，故答案为：． 【变式4】（24-25七年级下·辽宁盘锦·阶段练习）方程的解为 ． 【答案】或 【详解】解： ， ∴， ∴或； 故答案为：或． 知识点03 平方根与算术平方根的区别与联系 例1．（24-25七年级下·广东广州·阶段练习）若x是25的平方根，y是的算术平方根，则的值为 ． 【答案】125或 【详解】解：∵x是25的平方根，∴．∵y是的算术平方根，∴． 当时，；当时，； 综上所述，的值为：125或．故答案为：125或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若方 ... ...
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