专题课:带电粒子在有界磁场中的临界问题与多解问题 [模型建构] (1)带电粒子射入磁场的速度方向不变,大小变化,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径随速度的变化而变化,但所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上. 动态放缩法:以入射点为定点,圆心位于入射速度的垂线上,将半径放缩作一系列轨迹,从而探索出临界条件. (2)如图所示,①、③两条轨迹的射出点间的距离为粒子能射到挡板上的范围,为x=2R=.当带电粒子射入磁场的速率v一定,但射入的方向变化时,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、R=为半径的圆上. 例1 B [解析] 由左手定则和题意知,沿ba方向射出的粒子在磁场区域内转动半周,运动的时间最长,运动的半径最大的为轨迹恰与ac边相切的粒子,其轨迹如图所示,由几何关系知r+=,解得r=L,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,所以速度的最大值v=,故B正确. 变式1 C [解析] 由左手定则可知粒子带负电,A错误;如图甲所示,粒子从ab边射出时在磁场中转过的圆心角最大,运动的时间最长,最长时间为t=T=·=,B错误;如图乙所示,由几何关系得从b点飞出的粒子的轨迹半径为R==L,C正确;如图丙所示,从bc边飞出的粒子的飞出点越靠近c,则对应的圆心角越小,运动的时间越短,D错误. 例2 C [解析] 电子从圆心沿半径方向进入磁场,在磁场中做匀速圆周运动,当其圆周轨迹恰好与磁场外圆边界相切时,磁场的磁感应强度最小,如图所示,由几何关系得a2+r2=(3a-r)2,解得r=,电子的向心力由洛伦兹力提供,有eBv=m,解得B=,故C正确. 例3 (1) (2)① ②d [解析] (1)设粒子做圆周运动的半径为R,由于粒子恰能垂直于DE边界射出磁场,所以速度偏转角为53°,由几何关系得Rsin 53°=d 解得R=d 由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m 解得v= (2)①若粒子均以的速率沿不同方向垂直射入磁场,设粒子做圆周运动半径为R1,由洛伦兹力提供向心力,有 qB=m 解得R1=d 当粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长为d时,对应运动的时间最短,设对应的圆心角为2α,由几何关系得2R1sin α=d 解得α=53° 粒子运动的周期为T== 则粒子在磁场中运动的最短时间tmin=×= ②当粒子沿AC方向射入时,粒子从DE边界射出时的位置最低,如图甲所示,由几何关系可知,M与S在平行于DE边界方向上的距离为l1== 当粒子运动的轨迹与DE边界相切时,粒子从DE边界射出时的位置最高,如图乙所示,由几何关系可知,N与S在平行于DE边界方向上的距离为l2== 所以粒子从DE边界射出的区域的长度为l=l1+l2=d 例4 C [解析] 因质子带正电,且经过C点,故其可能的轨迹如图所示,所有圆弧所对圆心角均为60°,质子可能的运动半径r=(n=1,2,3,…),由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,解得v==(n=1,2,3,…),所以质子的速度不可能为BkL和BkL,故A、B错误;质子由A到C的时间可能为t=×n×==(n=1,2,3,…),故C正确,D错误. 例5 BC [解析] 粒子在磁场中运动的周期T==,粒子打到E点时,偏转角度最小,运动的时间最短,根据几何关系可知偏转角度为θ=60°,最短时间为t1=T=,设弧EFC上存在一点B,A点和B点连线恰与弧EFC相切,则从B点射出的粒子偏转角度最大,运动的时间最长,根据几何关系可知偏转角度为θ'=120°,最长时间为t2=T=,故运动的时间范围为~,选项B、C正确,A、D错误. 例6 BC [解析] 质子的运动轨迹如图所示,其圆心在x=处,其半径R=,质子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得evB=m,解得v=,故A错误,B正确;质子在磁场中做匀速圆周运动的周期TH==,同理,α粒子的周期是质子周期的2倍,由于α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇,故相遇时质子可能运动了半个周期,也有可能运动了一个半周期,如果相遇时质子只运动了半个周期,则质子运动的时间为t=TH=,如果相遇时质子运动了一个半周期,则质子运动的时间为t'=TH=×=,因两个粒子在原点相遇,故它 ... ...
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