3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 学案设计 学习目标 1.能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线等几何性质. 2.进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解,同时体会数形转化的数学思想. 自主预习 1.双曲线的性质: 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0) 图形 续 表 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 性 质 范围 对称性 对称轴: ;对称中心: 顶点 轴 实轴:线段 ,长:2a; 虚轴:线段 ,长:2b; 半实轴长:a,半虚轴长:b 离心率 e=∈ 渐近线 2.等轴双曲线 (1) 的双曲线叫做等轴双曲线. (2)等轴双曲线具有以下性质: ①方程形式为 ; ②渐近线方程为 ,它们互相 ,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角; ③实轴长和虚轴长都等于2a,离心率 . 课堂探究 一、复习引入 复习上节课所讲授的双曲线及其标准方程. 二、双曲线的性质 问题:如何研究双曲线的几何性质 追问1:双曲线的范围、顶点、对称性 (1)范围 “形”的角度: “数”的角度: (2)对称性 “形”的角度: “数”的角度: (3)顶点 “形”的角度: “数”的角度: 追问2:能否类比椭圆把B1(0,-b),B2(0,b)两点画在y轴上 线段B1B2有何几何意义 (4)渐近线 追问3:利用信息技术画出双曲线=1和两条直线=0,如图,在双曲线=1的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线=1的距离d,沿曲线向右上方拖动点M,观察xM与d的大小关系,你发现了什么 追问4:已知双曲线方程如何求渐近线方程 追问5:在双曲线方程=1(a>0,b>0)中,如果a=b,渐近线是什么 (5)离心率 追问6:双曲线的离心率是什么 追问7:椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特征 追问8:双曲线=1(a>0,b>0)的简单几何性质是什么 标准方程 =1(a>0,b>0) =1(a>0,b>0) 图形 性 质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴 离心率 渐近线 三、典例分析 例1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在x轴上,实轴长是10,虚轴长是8; (2)焦点在y轴上,焦距是10,虚轴长是8. 核心素养专练 1.判断正误 (1)双曲线的离心率越大,双曲线的“张口”越大. ( ) (2)以y=±2x为渐近线的双曲线有2条. ( ) (3)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为e=(其中c=). ( ) 2.双曲线-y2=1的顶点坐标是( ) A.(4,0),(0,1) B.(-4,0),(4,0) C.(0,1),(0,-1) D.(-4,0),(0,-1) 3.双曲线=-3的渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=±x 4.若双曲线=1的离心率e=2,则m= . 5.设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,则以A,B为焦点且过点C的双曲线的离心率为 . 6.在平面直角坐标系Oxy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 . 7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率e的取值范围是 . 8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6. ... ...
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