14.3角的平分线 【知识点1】角平分线的性质 1 【知识点2】作图—基本作图 1 【题型1】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 2 【题型2】角平分线的性质 7 【题型3】角平分线的判定 13 【题型4】角平分线性质与判定的综合 17 【题型5】角平分线性质与判定的实际应用 22 【题型6】三角形内角平分线与外角平分线的综合 26 【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE 【知识点2】作图—基本作图 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线． 【题型1】与尺规作图相关的角平分线性质与判定 【典型例题】如图，直线相交于点O，，根据图中的尺规作图痕迹，则的度数是（ ） A.64° B.56° C.58° D.45° 【答案】C 【解析】解：由题意得 是平角的角平分线， 是的角平分线，， ，， ． 故选：C． 【举一反三1】如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，再以点E为圆心，以EF的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线OD，若∠AOB＝35°，则∠BOD的度数是（ ） A.35° B.60° C.70° D.80° 【答案】C 【解析】解：由题意得：∠AOB＝∠AOD＝35°， ∴∠BOD＝∠AOB+∠AOD＝70°， 故选：C． 【举一反三2】如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 【答案】D 【解析】解：如图所示，加油站站的地址有四处．故选D． 【举一反三3】如图，在中，，，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点 M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 P，作射线交于点D，作于点E，，则的长为 ． 【答案】4 【解析】解：过点D作，如图所示， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，在中，，，以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交和于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点F，作射线交于点G，若，则的面积为 ． 【答案】 【解析】解：如图，过点G作于点H， 由题意可知平分， ∵， ∴， ∴． 【举一反三5】如图，在中， 用尺规作图法作出射线，交 于点D．若．点D到边的距离为6，则的长是 ． 【答案】18 【解析】如图，过点D作于E， 由尺规作图知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三6】（教材改编）如图，在直线MN上求作一点P，使点P在AOB的内部，且点P到射线 OA和OB的距离相等. 【答案】作法： （1）作∠AOB的平分线OP，交MN于点P； （2）则点P即为所求． 【举一反三7】如图，，是的两个外角． (1)用无刻度直尺和圆规分别作和的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】解：（1）如图即为所求． （2）如图，作，，， 由（1）知，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点O在的角平分线上， ∴平分． 【题型2】角平分线的性质 【典型例题】如图，是的中点，平分，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是（ ... ...
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