2.1.3 基本不等式的应用 课件（16 页） 2025-2026学年湘教版2019高中数学必修第一册

2.1.3　基本不等式的应用 1.理解基本不等式的两大应用模型. 2.能利用基本不等式解决实际生活中的最值问题. 算术平均数 几何平均数 解:(1)设两个正数为????，????，则????>0，????>0，且????????=12. 由????+????2≥????????，可得????+????≥2????????=212=43， 当且仅当????=????时等号成立，此时????=????=23. 所以，把12写成两个23的乘积时，它们的和最小，最小和为43. ? 例1 (1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ ? 积为定值，和有最小值 “一正二定三相等” 解 ： (2)设两个正数为????，????，则????>0，????>0，且????+????=25. 由????????≤????+????2=252，可得????????≤6254， 当且仅当????=????时等号成立，此时????=????=252. 所以，把25写成两个252的和时，它们的积最大，最大积为6254. ? 例1 (1)把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2)把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ ? 和为定值，积有最大值 已知????，????都为正数，则： (1)如果积????????是定值P，那么当且仅当????=????时，和????+????有最小值 ； (2)如果和????+????是定值S，那么当且仅当????=????时，积????????有最小值 . ? 知识归纳 和为定值，积有最大值 积为定值，和有最小值 在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决. 例2 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12????2的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/????2，侧面的造价为800元/????2，屋顶的造价为5200元.如果墙高为3????，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ ? 正面、侧面及屋顶的造价 与房屋正面、侧面的面积有关 例2 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12????2的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/????2，侧面的造价为800元/????2，屋顶的造价为5200元.如果墙高为3????，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ ? ? 3???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? 解：设平行线段长为???? ????，半圆形直径为???? ????， 中间的矩形区域面积为???? ????2. 由题意可知，????=????????，且2????+????????=400， 所以????=????????=12??????????????2????≤12????(????????+2????2)2=20000????， ? 例3 某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为400????，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ ? 当且仅当????????=2????=200，即????=200????，????=100时，等号成立. ? 所以，当平行线段的长设计为100 ????时，中间矩形区域的面积????最大，最大值为20000????????2. ? ???? ???? ? ???? ???? ? 现在你能表示 出相关的等式么？ 理解题意 建立模型 求解 下结论 ①判断数量关系是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题. ②设变量，将要求最值的变量定为函数值。 建立相应的函数关系（可能是二元函数），注意自变量的取值范围。 运用基本不等式，根据“一正、二定、三相等”求函数的最值。 根据求解结果来解析实际问题。 方法归纳 1.(1)用篱笆围一个面积为100????2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ ? 解 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为????????，????????，篱笆的长度为2(????+????)????. (1)由已知得????????=100. 由????+????2≥????????，可得????+????≥2????????=20， ∴2(????+????)≥40， 当且仅当????=????=10 ... ...