2.1.3 基本不等式的应用 学习目标 1.掌握利用基本不等式求函数的最值问题. 2.能利用基本不等式解决实际问题. 复习回顾 一般地，对于正数????,????，我们把????+????2称为????,????的_____，????????称为????,????的_____.把不等式_____称为_____. ? 算术平均数 几何平均数 ? 基本不等式 ????+????2≥????????(????>0,????>0) ? 基本不等式表明 . 两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数 基本不等式常用变形：_____ ????+????≥2???????? ? 新课学习 在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决. 怎样利用基本不等式求最值呢？ 例题解析 例1 （1）把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 由 ????+????2≥????????， 可得 ????+????≥2????????=212=43， 当且仅当????=???? 时等号成立，此时????=????=23. ? 积是定值 所以，把12写成两个23的乘积时，它们的和最小，最小和为43. ? 解：（1）设两个正数为????,????，则????>0，????>0，且????????=12. ? 和有最小值 ????+????≥43，就说明????+????始终大于或等于43，取等号时，两数之和最小. ? 例题解析 解：设两个正数为????,????，则????>0，????>0，且????+????=25. 由 ????????≤????+????2=25， 可得 ????????≤6254， 当且仅当????=???? 时等号成立，此时????=????=252. ? （2）把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 所以，把25写成两个252的和时，它们的积最大，最大积为6254. ? 和是定值 积有最大值 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则. （1）一正：符合基本不等式????+????2≥????????成立的前提条件：????>0,????>0. （2）二定：化不等式的一边为定值. （3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立. ? 方法提炼 以上三点缺一不可 已知????，????都为正数，则 （1）如果积????????定值是????，那么当且仅当????=????时，和????+????有最小值2????； （2）如果和????+????是定值????，那么当且仅当????=????时，积????????有最大值????24. ? 基本不等式解决最值问题有下列结论： 新课学习 你能证明这些结论吗？ （1）如果积????????等于定值P，那么当????=????时，和????+????有最小值2???? ? 新课学习 证明：因为????，????都是正数，所以????+????2≥???????? (1)当积????????等于定值P时，????+????2≥???? ， 所以????+????≥2????， 当且仅当????=???? 时，上式等号成立. 于是，当????=????时，和????+????有最小值2???? ? 积为定值，和有最小值 新课学习 （2）如果和????+????等于定值S，那么当????=????时，积????????有最大值14????2. ? 证明：当和????+????等于定值S时， ????????≤????2 ， 所以 ???????? ≤14????2. 当且仅当????=???? 时，上式等号成立. 于是，当????=????时，积????????有最大值14????2. ? 和为定值，积有最大值 例题解析 例1 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12????2的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/????2,侧面的造价为800元/????2，屋顶的造价为5200元.如果墙高为3????，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ ? ???? ???? ? ???? ???? ? （2）正面和侧面的造价和它们的面积有关，怎样求面积呢？ （3）我们建立什么样的数学模型求解呢？ （1）房子的造价由哪几部分决定？ 思考 所以，将房屋设计成正面长为4????,侧面长为3????时总造价最低，最低总造价是34000元. ? =5200+1200(3????+4????). ? 解：设房屋正面的长为???? ????,侧面的长为???? ????,房屋的总造价为????元. ? 根据题意，有? ... ...
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