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课件网) 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆的标准方程 探究点一 椭圆定义的理解 探究点二 求椭圆的标准方程 探究点三 与椭圆有关的轨迹问题 探究点四 直线与椭圆的位置关系 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.能用文字语言和符号语言描述椭圆的定义、相关概念和几何特 征,能从圆与椭圆的定义中体会它们的内在联系和椭圆的本质属性. 2.能够根据椭圆的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据椭 圆定义的表达式推导椭圆的标准方程. 3.能描述焦点在不同坐标轴上的椭圆的标准方程,能说明标准方 程中特征量的关系. 4.能灵活运用椭圆定义和标准方程解决一些关联问题. 知识点一 椭圆的定义 1.椭圆定义：平面内到两个定点, 的距离_____等于常数 （_____）的点的轨迹叫作椭圆.两个定点, 叫作_____ __,两个焦点间的距离叫作_____. 之和 大于 椭圆的焦点 椭圆的焦距 2.椭圆定义的三个要点: （1）在平面内,, 是两个_____; （2） 为_____; （3）定长___ . 定点 定长 知识点二 椭圆的标准方程 标准方程 _ _____ _ _____ 图形 _____ _____ 焦点坐标 _____ _____ 焦距 _____ , , 知识点三 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆 的位置关系的判断方 法: 由消去,得到一个关于 的一元二次方程. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与 的取值的 关系如下表所示: 位置关系 解的个数 相交 ___ _____ 相切 ___ _____ 相离 ___ _____ 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知,,则平面内到, 两点距离之和等于4的点 的轨迹是椭圆.( ) × （2）已知椭圆的方程为,则椭圆的焦点在 轴上.( ) × （3）直线与椭圆 的交点个数为2.( ) √ （4）若方程表示椭圆，则的取值范围为 .( ) × 2.在椭圆定义中，将“大于”改为“小于 ”，其他条件不变，动 点的轨迹是什么？ 解:当平面内到两个定点,的距离之和小于 时，动点的轨迹不 存在. 探究点一 椭圆定义的理解 例1（1）已知平面内有一个动点及两定点，，则“ 为 定值”是“点的轨迹是以， 为焦点的椭圆”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ [解析] 当为定值时，若定值大于，则点 的轨迹是椭圆， 若定值等于，则点的轨迹是线段，若定值小于，则 的轨迹 不存在； 反之，当点的轨迹是以，为焦点的椭圆时， 必为定值. 所以“为定值”是“点的轨迹是以， 为焦点的椭圆”的必要 且不充分条件.故选B. （2）［2025·江苏南通如东中学高二月考］如果点 在运动过 程中，总满足关系式 ，则点 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.线段 D.不存在 [解析] 表示平面内点 到点,的距离之和为 ，因为 ，所以点 的轨迹是椭圆，故选B. √ 变式 已知，是两个定点，且，其中 是大于0的常数， 动点满足，则动点 的轨迹为( ) A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.直线 [解析] 因为 （当且仅当 时，等号成立），所以 . 当且时， ，此时动点的轨迹是椭圆； 当时，，此时动点 的轨迹是线段 . 故选C. √ ［素养小结］ 对椭圆定义的三点说明 1.椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视. 2.定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量. 3.常数
必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断 一曲线是否为椭圆的重要条件. 探究点二 求椭圆的标准方程 例2（1）求焦点在轴上,焦距是4,且经过点 的椭圆的标准方程. 解:根据题意可知,又焦点在轴上,所以焦点坐标为 . 椭圆经过点 , 由椭圆的定义可得 ,即 , , 故椭圆的标准方程为 . （2）求经过两点, 的椭圆的标准方程. 解:方法一:若焦点在 轴上,设椭圆的标准方程为 . 由已知条件得解得 故椭圆的标 ... ...
