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课件网) 4.1 数列 第2课时 数列的递推公式与数列的 函数特性 探究点一 由数列的递推公式求通项公式 探究点二 由数列的递推公式求数列的某 一项 探究点三 数列的单调性与最值 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 1.会用递推公式表示数列,能根据数列的递推公式写出数列的前几项. 2.了解数列的前项和,并能利用前项和与第 项的关系解决一 些简单问题. 知识点一 数列的递推公式 一般地，如果已知一个数列的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项_____（或前几项）间的关系可以用_____来表 示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.递推公式也是给定数 列的一种方法. 温馨提醒：递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系， 需要知道首项（或前几项），即可求数列中的每一项. 一个公式 知识点二 数列的函数性质 1.单调性 如果对所有的，都有，那么称数列 为递增数列； 如果对所有的，都有，那么称数列 为递减数列. 2.周期性 如果对所有的，都有为正整数，那么称 是以 为周期的周期数列. 3.有界性 如果对所有的，都有，那么称 为有界数列，否则 称 为无界数列. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）所有的数列都有递推公式.( ) × （2）数列的递推公式是关于 的函数关系式.( ) × （3）已知数列满足,,则 .( ) √ （4）所有数列都具有单调性.( ) × 2.若数列满足 ,则这个数列是递增数列吗？ 解：不一定是递增数列，可以是摆动数列. 探究点一 由数列的递推公式求通项公式 例1 分别根据下列条件，写出数列 的前4项，并归纳猜想数列 的通项公式． （1）， ； 解：,, , ，归纳猜想 . （2）， ； 解：,,, ， 归纳猜想 . （3），， ． 解：，， ， ， 归纳猜想 . ［素养小结］ 某些用递推公式给出的数列,写出数列的前几项后,由前几项分析其特 点、规律,即可归纳总结出数列的通项公式. 探究点二 由数列的递推公式求数列的某一项 例2 ［2025·江苏南通中学高二月考］斐波那契数列 可以用如下 方法定义：，且 .若此数列各项除以4的 余数依次构成一个周期数列，则数列 的第100项为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由题意得，，，，， ， ，，，，，， ，则 数列是以6为周期的周期数列， 则 ，则数列 的第100项为3，故选D. √ 变式 在数列中，，，对所有的正整数 都有 ，则 ( ) A. B.24 C. D.25 [解析] 由得 ，两式相加得 ，， 是以6为周期的数列，而， .故选B. √ ［素养小结］ 解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求 解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数 列的“信号”. 探究点三 数列的单调性与最值 例3（1）已知数列的通项公式为,则数列 中的 最大项为( ) A.第2项 B.第3项 C.第2或3项 D.第4项 [解析] 根据题意，得， ， ,, 当 时， , 所以,所以数列 中的最大项为第2或3项,故选C. √ （2）［2025·江苏锡山中学高二质检］已知数列 满足 ，若是递增数列，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为 是递增数列，所以， 即 ．如图所示，作出函数 和 的图象， ，且． 故仅当 时,,且 ,依此类推可 得,满足是递增数列,即 的取值范围是 . 故选A. 变式（1）数列的通项公式为,则数列 中的最大项是( ) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 [解析] 函数 是图象开口向下的二次函数，有最 大值，易知当时，函数取得最大值，但是数列中的项数 只能是正整数，故当时， 取得最大值．故选B. √ （2）［2025·山东青岛二中高二月考］数列 的通项公式为 ，则“”是“ 为递增数列”的( ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D ... ...
