中小学教育资源及组卷应用平台 专题3.1 勾股定理的探究 基础知识夯实 知识点01 勾股定理的发现 1.勾股定理： 文字语言：如图，直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 。 符号语言：如图，在中，，则： a2+b2=c2 。 注意：勾股定理的使用条件：必须是 直角三角形 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 斜边 。 2.勾股定理的运用： ①已知直角三角形的任意两边长，求 第三边 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的 数量关系 ； ③在网格中绘制长度为无理数的 线段 ； ④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题等； ⑤解决空间几何中的长度问题，解决简单的最值问题。 知识点02 勾股定理的证明 1.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 拼图 法。 图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法； 图1 图2 图3 图4 2.用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过 割补 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 不会改变 ； ②根据同一种图形的面积 两种 不同的表示方法，列出等式，推导出 勾股定理 。 典型案例探究 知识点01 勾股定理的发现 例1．（25-26八年级上·广东随堂练习）在中，，，则的长是（ ） A．17 B．或13 C．17或 D．13或17 【答案】C 【详解】解：在中，，，若，则， 若，则； 综上，的长是17或．故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的长为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】解：连接，∵，，，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴．故选：B 【变式2】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（ ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光，作于， 则，在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光．故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·陕西铜川·阶段练习）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（ ） A．64 B．36 C．12 D．6 【答案】B 【详解】解：在中，，由勾股定理得：， ∴正方形和正方形的面积和为 36 ，故选：B． 【变式4】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c，则， 图1中， ，∵，∴，故图1符合题意； 图2中，，，， ∵，∴，故图2符合题意； 图3中，作于点G，则，， ∴，∴，同理：，， ∵，∴，故图3符合题意； 图4中，由图2中推导过程可得：，故图4符合题意 综上，这四个图形中，，之间的关系满足的个数为4个，故选：D． 【变式5】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ． 【答案】/49平方厘米 【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得， 由正方形的面积计算公式可得， ∴，同理可得，， ∴，故答案为：． 知识点02 勾股定理的证明 例1．（2025八年级下·河南·专题练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小 ... ...
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